已知二次函数满足.

（1）求的解析式；

（2）若在上单调，求的取值范围；

（3）设（ 且a≠1），（且），当时，有最大值14，试求a的值.

答案

（1）f（x）；（2）p≤﹣7，或者p≥﹣3；（3）a＝3或

【分析】

（1）利用代入化简得到答案.

（2）化简得到，得到对称轴或计算得到答案.

（3），设化简为二次函数计算得到答案.

【详解】

（1）∵f（x）＝ax²+bx满足f（x﹣1）＝f（x）+x﹣1，

∴a（x﹣1）²+b（x﹣1）＝ax²+bx+x﹣1，即ax²﹣（2a﹣b）x+a﹣b＝ax²+（b+1）x﹣1，

所以﹣（2a﹣b）＝b+1，a﹣b＝﹣1，得a，，

所以f（x）．

（2）因为g（x）＝﹣2f（x）+px＝﹣2（）+px＝x²+（p﹣1）x，x∈上单调，

所以其对称轴x2，或者，所以p≤﹣7，或者p≥﹣3．

（3）F（x）＝4f（a^x）+3a^2x﹣1＝a^2x+2a^x﹣1，（a＞0且a≠1），

当x∈时，令t＝a^x，y＝t²+2t﹣1＝（t+1）²﹣2，

当a＞1时，t，y_max＝F（a）＝（a+1）²﹣2＝14，得a＝3；

当0＜a＜1时，t，，得a．

故a＝3或．

【点睛】

本题考查了函数解析式，单调性，最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.