已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.)
D
【分析】
由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为,则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径,据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】
圆C(2,0),半径r=,设P(x,y),
因为两切线,如下图,PA⊥PB,由切线性质定理,知:
PA⊥AC,PB⊥BC,PA=PB,所以,四边形PACB为正方形,所以,|PC|=2,
则:,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
直线过定点(0,-2),直线方程即,
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,
即:,解得:,
即实数的取值范围是).
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系,轨迹方程的求解与应用,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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