在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

答案

（1）不会；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.

试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设,,则满足，所以.

又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.

（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.

由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.

联立又，可得

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径

故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：

（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；

(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．