已知点
在圆
上运动，且存在一定点
，点
为线段
的中点.
（1）求点
的轨迹
的方程；
（2）过
且斜率为
的直线
与点的轨迹交于不同的两点
，是否存在实数使得
，并说明理由.
（1）
；（2）见解析.
【解析】
分析：（1）由中点坐标公式，可得
，
.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.
（2）设
，
，联立直线与圆的方程可得
，
由直线与圆有两个交点可得
，结合韦达定理可得
，
.则
.解得
或1，不合题意，则不存在实数
使得
.
详解：（1）由中点坐标公式，得
即，.
∵点
在圆
上运动，
∴
，
即
，
整理，得.
∴点
的轨迹
的方程为.
（2）设，，直线的方程是
，
代入圆.
可得，
由
，得，
且
，，
∴
.
.
解得或1，不满足
.
∴不存在实数使得.
点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：
第一步：假设符合要求的结论存在．
第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．
第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．
第四步：给出明确结果．
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．
圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程：
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当D2+E2-4F＞0时，表示圆心在
，半径为
的圆；
当D2+E2-4F=0时，表示点
；
当D2+E2-4F＜0时，不表示任何图形。
，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为
。 
＞0时，表示圆心在，半径为的圆； 
=0时，表示点； 
＜0时，不表示任何图形。 圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．
的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如
的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.
即
几种特殊位置的圆的方程：
| 条件 | 标准方程 | 一般方程 |
| 圆心在原点 |
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| 过原点 |
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| 圆心在x轴上 |
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| 圆心在y轴上 |
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| 与x轴相切 |
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| 与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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| 圆心在x轴上且过原点 |
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| 圆心在y轴上且过原点 |
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