已知圆内一点,直线过点且与圆交于,两点.
(1)求圆的圆心坐标和面积;
(2)若直线的斜率为,求弦的长;
(3)若圆上恰有三点到直线的距离等于,求直线的方程.
(1)见解析;(2);(3),或.
【分析】
(1)化圆的一般式为标准方程:得出圆的圆心坐标为,半径即可.
(2)先求圆心到直线的距离为,再利用半径,距离,半弦长构成直角三角形求解即可.
(3)圆上恰有三点到直线的距离等于,等价于圆心到直线的距离为,利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
(1)圆的圆心坐标为,半径,面积为;
(2)直线的方程为,即,
圆心到直线的距离为,
;
(3)因圆上恰有三点到直线的距离等于,转化为
则圆心到直线的距离为,
当直线垂直于轴时,显然不合题意;
设直线的方程为,即,
由,解得,
故直线的方程为,或.
【点睛】
利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法,圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为.设点,直线方程为,点到直线的距离公式为.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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