已知圆C：，直线l过定点．

（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

答案

（1）或

【分析】

（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；

（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.

【详解】

（1）①若直线l₁的斜率不存在，则直线l₁：x＝1，符合题意. 

 ②若直线l₁斜率存在，设直线l₁的方程为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，即： ，解之得 .  所求直线l₁的方程是或.

(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，

则圆心到直线l₁的距离 

又∵△CPQ的面积 

                 ＝

∴当d＝时，S取得最大值2.    

∴＝       ∴ k＝1 或k＝7

所求直线l₁方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.