圆C过点,,且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点,求线段中点M的轨迹方程.
(1);(2).
【分析】
(1)求得线段垂直平分线的方程,与直线方程联立,求得圆心的坐标,由求得半径,由此求得圆的方程.
(2)设出点坐标,由此求得点坐标,将点的坐标代入圆的方程,化简求得点的轨迹方程.
【详解】
(1)直线的斜率,
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为,.
因此,直线m的方程为.即.
又圆心在直线上,所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
,
解得
所以圆心坐标为,又半径,
则所求圆的方程是.
(2)设线段的中点,
M为线段的中点,则,
解得
代入圆C中得,
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】
本小题主要考查圆的方程的求法,考查动点轨迹方程的求法,属于中档题.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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