已知圆,直线.
(1)判断直线与圆C的位置关系;
(2)设直线与圆C交于A,B两点,若直线的倾斜角为120°,求弦AB的长.
(1)直线l与圆C必相交 (2).
【分析】
(1)判断直线过定点,利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系;(2)根据直线的倾斜角为,求出直线斜率以及直线的方程,利用弦长公式即可求弦的长.
【详解】
(1)直线l可变形为y-1=m(x-1),因此直线l过定点D(1,1),
又=1<,所以点D在圆C内,则直线l与圆C必相交.
(2)由题意知m≠0,所以直线l的斜率k=m,又k=tan 120°=-,即m=-.
此时,圆心C(0,1)到直线l: x+y--1=0的距离d==,
又圆C的半径r=,所以|AB|=2=2=.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题,属于中档题. 已知直线方程,判断直线过定点主要形式有:(1)斜截式,,直线过定点;(2)点斜式直线过定点.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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