如图,圆,点为直线上一动点,过点引圆的两条切线,切点分别为.
(1)若,求切线所在直线方程;
(2)求的最小值;
(3)若两条切线与轴分别交于两点,求的最小值.
(1),;(2)(3)
【分析】
(1)设切线方程,利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解;
(2)连接交于,利用,结合正余弦可得最值;
(3)利用(1)的方法,得到的二次方程,结合根与系数关系,用含的式子表示去表示,可得最值.
【详解】
(1)由题意,切线斜率存在,可设切线方程为,即,
则圆心到切线的距离,解得或,
故所求切线方程为,;
(2)连接交于点,
设,则,
在中, ,
∵,∴,∴,∴;
(3)设切线方程为,即,的斜率为,
故圆心到切线的距离,得,
∴, ,
在切线方程中令可得,
故,
∴,此时,故的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用,其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用,合理根据直线与圆的位置关系,列出相应的方程是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,试题综合性强,属于中档试题.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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