已知关于直线对称,且圆心在轴上.
(1)求的标准方程;
(2)已知动点在直线上,过点引的两条切线、,切点分别为.
①记四边形的面积为,求的最小值;
②证明直线恒过定点.
(1)(2)① ②证明见解析
【分析】
(1)根据圆的一般式,可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线方程,结合圆心在轴上,即可求得圆C的标准方程.
(2)①根据切线性质及切线长定理,表示出的长,根据圆的性质可知当最小时,即可求得面积的最小值;②设出M点坐标,根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆,可得圆心坐标及半径,进而求得的方程,根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程,进而求得过的定点坐标.
【详解】
(1)由题意知,
圆心在直线上,即,
又因为圆心在轴上,
所以,
由以上两式得:,,
所以.
故的标准方程为.
(2)①如图,的圆心为,半径,
因为、是的两条切线,
所以,,
故
又因为,
根据平面几何知识,要使最小,只要最小即可.
易知,当点坐标为时,
.
此时.
②设点的坐标为,
因为,
所以、、、四点共圆.
其圆心为线段的中点,,
设所在的圆为,
所以的方程为:,
化简得:,
因为是和的公共弦,
所以,两式相减得,
故方程为:,
当时,,
所以直线恒过定点.
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用,圆中三角形面积问题的应用,直线过定点问题,综合性强,属于难题.
直线的倾斜角的定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。
直线的斜率的定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。
直线斜率的性质:
当时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。
直线倾斜角的理解:
(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;
(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。
直线倾斜角的意义:
①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。
直线斜率的理解:
每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。
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