在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2

在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．

试题解析：（1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．

（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，

由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或．

考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程．

【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．

当前位置：

学科首页

必修部分

圆与方程

试题详情

难度：

使用次数：147

更新时间：2020-12-29

纠错

在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

查看答案

题型：解答题

知识点：圆与方程

下载试题

复制试题

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．

试题解析：（1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．

（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，

由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或．

考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程．

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对圆的标准方程与一般方程等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 圆的标准方程与一般方程的定义

圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²,，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x²+y²=r²。

圆的一般方程：

圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
当D²+E²-4F＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当D²+E²-4F=0时，表示点；
当D²+E²-4F＜0时，不表示任何图形。

◎ 圆的标准方程与一般方程的知识扩展

1、圆的标准方程

，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为

。
2、圆的一般方程

当

＞0时，表示圆心在

，半径为

的圆；
当

=0时，表示点

；
当

＜0时，不表示任何图形。

◎ 圆的标准方程与一般方程的知识点拨

圆的定义的理解：

（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．

圆的方程的理解：

(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即

◎ 圆的标准方程与一般方程的知识拓展

几种特殊位置的圆的方程：

条件	标准方程	一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点