已知为直线上一点,过作圆的切线,则切线长最短时的切线方程为__________.
或
【分析】
利用切线长最短时,取最小值找点:即过圆心作直线的垂线,求出垂足点.就切线的斜率是否存在分类讨论,结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程.
【详解】
设切线长为,则,所以当切线长取最小值时,取最小值,
过圆心作直线的垂线,则点为垂足点,此时,直线的方程为,
联立,得,点的坐标为.
①若切线的斜率不存在,此时切线的方程为,圆心到该直线的距离为,合乎题意;
②若切线的斜率存在,设切线的方程为,即.
由题意可得,化简得,解得,
此时,所求切线的方程为,即.
综上所述,所求切线方程为或,
故答案为或.
【点睛】
本题考查过点的圆的切线方程的求解,考查圆的切线长相关问题,在过点引圆的切线问题时,要对直线的斜率是否存在进行分类讨论,另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.
直线的倾斜角的定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。
直线的斜率的定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。
直线斜率的性质:
当时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。
直线倾斜角的理解:
(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;
(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。
直线倾斜角的意义:
①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。
直线斜率的理解:
每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。
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