在平面直角坐标系中,已知圆,,动点在直线上,过点分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有两个,则实数的取值范围是________.
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【分析】
设出点的坐标,将原问题转化为直线与圆相交的问题,求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y),则
∵PB=2PA,,
∴(x−4)2+y2=4(x2+y2),
∴x2+y2+=0,
圆心坐标为,半径为,
∵动点P在直线x+y−b=0上,满足PB=2PA的点P有且只有两个,
∴直线与圆x2+y2+=0相交,
∴圆心到直线的距离,
∴,
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查圆的方程及其应用,等价转化的数学思想,直线与圆是位置关系的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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