设,其中.
(1)当时,化简:;
(2)当时,记,试比较与的大小.
(1)(2)答案见解析
【分析】
(1)当时,,因为,结合已知,即可求得答案;
(2)当时,,可得,令,得,故当时,, 当时,化简可得:, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;
【详解】
(1)当时,
,其中,
原式=
(2)当时,
,
令,得
当时,;
当时,,
即,可得:
下面用数学归纳法证明:当时,(☆)
①当时,, (☆)成立.
②假设时,(☆)式成立,即
则时,
(☆)式右边
故当时,(☆)式也成立.
综上①②知,当时,
当时,;当时,.
【点睛】
解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
绝对值不等式:
当a>0时,有;
或x<-a 。
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