如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1,l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心C到l1,l2的距离相等,点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案:在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PM,PN(M,N为切点),同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A,B分别在l1,l2上).为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.(所有道路宽度忽略不计)
千米
【分析】
设ÐPCM=q,用表示出各道路长,并求出和.然后求导,用导数知识求得最大值.
【详解】
解:连接CM,设ÐPCM=q,则PC=,PM=PN=tanq,
OP=OC﹣PC=10﹣,AB=2OP=20﹣,
设新建的道路长度之和为,
则,
由1<PC≤10得≤<1,设,(0,),
则,,,令得
设,,q,,的情况如下表:
| (0,) |
| (,) |
| + | 0 | - |
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
由表可知时有极大值也是最大值,此时,,,
.
答:新建道路长度之和的最大值为千米.
【点睛】
本题考查导数的实际应用,解题关键是建立三角函数的模型,引入参数ÐPCM=q,把各道路长用表示,并求出和.
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
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