如图，抛物线
的焦点为
，过点
作直线
与抛物线交于
、
两点，当直线与
轴垂直时
长为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）若
与
的面积相等，求直线的方程.
答案
（1）
；（2）
或
.
【分析】
（1）由题意可知点
在抛物线
上，将该点坐标代入抛物线的方程，求得
的值，进而可求得抛物线的方程；
（2）由题意得出
，可得知直线
的斜率不为零，可设直线的方程为
，将该直线方程与抛物线方程连理，列出韦达定理，由题意得出
，代入韦达定理后可求得
的值，进而可求得直线的方程.
【详解】
（1）当直线
与
轴垂直时的长为
，
又
，取
，所以
，解得
，
所以抛物线的方程为；
（2）由题意知
，
，
因
，所以，
当
时，直线与抛物线不存在两个交点，所以
，
故设直线的方程为，代入抛物线方程得
，
所以
，
，
，
可得
，解得
.
所以，直线的方程为或.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积关系求直线的方程，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
