改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
交付金额(元) 支付方式 |
|
| 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
(Ⅰ) ;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值;
(Ⅱ)首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后求解数学期望即可.
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】
(Ⅰ)由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:
该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由题意可知,
仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
且X可能的取值为0,1,2.
,,,
X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
其数学期望:.
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下:
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率.
学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
【点睛】
本题以支付方式相关调查来设置问题,考查概率统计在生活中的应用,考查概率的定义和分布列的应用,使学生体会到数学与现实生活息息相关.
随机事件的定义:
在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义:
必然会发生的事件叫做必然事件;
不可能事件:
肯定不会发生的事件叫做不可能事件;
概率的定义:
在大量进行重复试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
m,n的意义:事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n,所以,0≤P(A)≤1,必然事件的概率为1,不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义:
对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的频率总是接近于区间[0,1]中的某个常数,我们就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
频率的稳定性:
即大量重复试验时,任何结果(事件)出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这个常数的偏差大的可能性越小,这一常数就成为该事件的概率;
“频率”和“概率”这两个概念的区别是:
频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的是随机事件出现的可能性;概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性。
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