设有关于的一元二次方程.
(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(Ⅰ) (Ⅱ)
【分析】
(1)本题是一个古典概型,可知基本事件共12个,方程当时有实根的充要条件为,满足条件的事件中包含9个基本事件,由古典概型公式得到事件发生的概率.
(2)本题是一个几何概型,试验的全部约束所构成的区域为,.构成事件的区域为,,.根据几何概型公式得到结果.
【详解】
解:设事件为“方程有实数根”.当时,方程有实数根的充要条件为.
(Ⅰ)基本事件共12个:
.
其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值.事件中包含9个基本事件,事件发生的概率为.
(Ⅱ)实验的全部结果所构成的区域为.构成事件的区域为,所求的概率为
【点睛】
本题考查几何概型和古典概型,放在一起的目的是把两种概型加以比较,属于基础题.
随机事件的定义:
在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义:
必然会发生的事件叫做必然事件;
不可能事件:
肯定不会发生的事件叫做不可能事件;
概率的定义:
在大量进行重复试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
m,n的意义:事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n,所以,0≤P(A)≤1,必然事件的概率为1,不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义:
对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的频率总是接近于区间[0,1]中的某个常数,我们就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
频率的稳定性:
即大量重复试验时,任何结果(事件)出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这个常数的偏差大的可能性越小,这一常数就成为该事件的概率;
“频率”和“概率”这两个概念的区别是:
频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的是随机事件出现的可能性;概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性。
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