研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明:该校学生居住地到学校的距离(单位:千米)和学生花费在上学路上的时间(单位:分钟)有如下的统计资料:
到学校的距离(千米) | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
花费的时间(分钟) | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
如果统计资料表明与有线性相关关系,试求:
(1)判断与是否有很强的线性相关性?
(相关系数的绝对值大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性,精确到0.01)
(2)求线性回归方程(精确到0.01);
(3)将分钟的时间数据称为美丽数据,现从这6个时间数据中任取2个,求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.
参考数据:,,,,
,
参考公式:,
(1)与有很强的线性相关性;(2);(3)
【分析】
(1)通过计算线性相关系数可得答案;(2)根据题意写出统计表,用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数、,写出线性回归方程;(3)根据(2)中求出的线性回归方程,求出符合要求的数据个数,再列出全部情况,由古典概型的公式,求出所求概率.
【详解】
(1)∴与有很强的线性相关性
(2)依题意得
,,
所以
又因为
故线性回归方程为
(3)由(2)可知,当时,,当时,,所以满足分钟的美丽数据共有3个,设3个美丽数据为、、,另3个不是美丽数据为、、,则从6个数据中任取2个共有15种情况,即,,,,,,,,,,,,,,,其中,抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况,即,,.所以从这6个数据中任取2个,抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为
【点睛】
线性回归方程的简单求解,与古典概型相结合,题目难度不大,对计算能力要求较高,属于中档题目.
简单随机抽样的定义:
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点:
(1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为;
(2)简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;
(3)简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础.
(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样
简单抽样常用方法:
(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法:随机数表抽样“三步曲”:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码概率:
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