下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
(1)利用模型①预测值为226.1,利用模型②预测值为256.5,(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
【详解】
分析:(1)两个回归直线方程中无参数,所以分别求自变量为2018时所对应的函数值,就得结果;(2)根据折线图知2000到2009,与2010到2016是两个有明显区别的直线,且2010到2016的增幅明显高于2000到2009,也高于模型1的增幅,因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.
详解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
点睛:若已知回归直线方程,则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;若回归直线方程有待定参数,则根据回归直线方程恒过点求参数.
简单随机抽样的定义:
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点:
(1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为;
(2)简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;
(3)简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础.
(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样
简单抽样常用方法:
(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法:随机数表抽样“三步曲”:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码概率:
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