某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表:

二级滤芯更换频数分布表：

以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；

（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；

（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.

答案

（1）；（2）见解析；（3）=23，=5.

【分析】

（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则一级个滤芯，二级个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.

（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.

（3）因为且，则可分为两类，即和，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.

【详解】

（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.

因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为，

所以.

（2）由柱状图可知，

一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.

由题意，可能的取值为，，，，，并且

，

，

，

，

.

所以的分布列为

.

（3）【解法一】

因为，，若，，

则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；

若，，

则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

故，的值分别为，.

【解法二】

因为，，若，，

设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则

，.

所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

若，，

设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

故，的值分别为，.

【点睛】

本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.