随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；

(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

①先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；

②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?

答案

（1）见解析；（2）见解析

【分析】

(1) 依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法表示调整前后y关于的函数表达式；

(2) ①由频数分布表可知Z的取值可能为0，2，4，求出相应的概率值得到分布列与期望值，②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为295元，按调整后起征点应纳个税为75元，从而得到结果.

【详解】

（1）调整前y关于x的表达式为

.

调整后y关于x的表达式为

,

（2）①由频数分布表可知从及的人群中抽取7人，其中

中占3人，的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4，（5分）

，

,

,

所以其分布列为

所以

②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；

按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，

比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，

即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元．

【点睛】

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.