《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,术日:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弧的距离之差,现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其狐田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=( )
A. B. C. D.
D
【分析】
利用弧田面积公式可求出矢长,继而求出半径和圆心到弧田弦的距离,则可求出cos∠AOD,由二倍角可求出cos∠AOB.
【详解】
如图,由题意可得:AB=6,
弧田面积S=(弦×矢+矢2)=(6×矢+矢2)=平方米.
解得矢=1,或矢=-7(舍),
设半径为r,圆心到弧田弦的距离为d,
则,解得d=4,r=5,
∴cos∠AOD=,
∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=-1=.
故选:D.
【点睛】
本题考查传统文化题目,考查二倍角,属于基础题.