在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.

（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；

（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；

（3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数与时间如下表：(第天用数字表示)

其中合格作品数()与时间()具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？

(参考公式，，参考数据：.)

答案

（1）；（2），；（3），个.

【分析】

（1）根据题意可直接求出制作一次视频成功的概率，进而可以求出该同学进行三次制作，恰有一次合格作品的概率；

（2）首先判断出，从而可以利用二项分布的期望与方差公式直接求出随机变量的数学期望与方差；

（3）根据题干给出的公式直接计算 、 ，即可求出对应的回归方程，令，即可故算出第14天能制作13个合格作品.

【详解】

（1）由题意知：制作一次视频成功的概率为，

所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率.

（2）根据题意可得：，

所以，，

（3）根据表格数据可计算出：

，，

所以 ，

所以，

所以关于的线性回归方程为，

令，得，

即估计第14天能制作13个合格作品.

【点睛】

本题主要考查了事件与概率、随机变量与分布列，及统计案例.