如图所示,椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、,右焦点为,,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、,直线与直线交于点,试讨论点是否在某条定直线上,若存在,求出该直线方程,若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在,且定直线方程为.
【分析】
(1)由题意可得出关于、的方程组,求得、的值,可求得的值,由此可求得椭圆的标准方程;
(2)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出直线、的方程,求出交点的纵坐标,进而可得出结论.
【详解】
(1)由题意可得,解得,,,
因此,椭圆的标准方程为;
(2)由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点、,
联立,消去并整理得,
,
由韦达定理得,.
易知点、,
直线的斜率为,直线的方程为,
直线的斜率为,直线的方程为,
由,可得,
其中,
,解得.
因此,点在定直线上.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了定直线的问题,考查韦达定理设而不求法的应用,考查计算能力,属于中等题.
给出下列曲线:
①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中与直线r=-2x-3有交点的所有曲线是
(A).①③ (B).②④ (C).①②③ (D).②③④