求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一条渐近线方程为
，且与椭圆
有相同的焦点；
（2）经过点
，且与双曲线
有共同的渐近线．
答案
（1）
；（2）
．
【解析】
（1）由题意设出双曲线的标准方程
，根据渐近线方程和
间的关系求出
后可得所求方程；或根据渐近线方程设双曲线方程为
，然后由题意求出
后得到所求．（2）根据题意设双曲线的方程为
，代入点
的坐标求出后可得所求方程．
【详解】
（1）方法1：椭圆方程可化为
，焦点坐标为
，
故可设双曲线的方程为
，其渐近线方程为
，
则
，
又
，
所以可得
，
，
所以所求双曲线的标准方程为
．
方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为
，则另一条渐近线方程为
．
故可设双曲线的方程为
，即
，
因为双曲线与椭圆
共焦点，
所以
，
即
，
解得
，
所以所求双曲线的标准方程为．
（2）由题意可设所求双曲线方程为
，
因为点
在双曲线上，
∴
，解得
，
所以所求双曲线的标准方程为
．
【点睛】
求双曲线的标准方程的基本方
法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
，再由条件求出λ的值即可．
