如图，四棱锥 P -ABCD 的底面是矩形， P D⊥ 底面 A BCD ， P D=DC=1 ， M为B C 的中点，且 P B⊥AM ，
（1） 求 B C ；
（2） 求二面角 A -PM-B 的正弦值。
答案
解：（ 1）因为P D ⊥平面A BCD ，且矩形 A BCD 中， AD ⊥ DC ，所以以 
, 
, 
分别为 x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D - xyz。
设 BC= t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ 
， 1，0），P (0,0,1), 所以 
=（t，1，- 1 ）， 
=（ 
， 1，0），
因为 P B ⊥ AM ，所以 
• 
=- 
+ 1=0 ，所以 t = 
，所以 B C= 
。
（ 2）设平面A PM 的一个法向量为 m = （ x，y，z），由于 
=（- 
， 0， 1 ），则
令 x = 
，得 m = （ 
， 1，2）。
设平面 P MB 的一个法向量为 n = （ x t ， y t ， z t ），则
令 
= 1 ，得 n =(0,1,1).
所以 cos（ m ， n ） = 
= 
= 
,所以二面角A -PM-B 的正弦值为 
.
