在 ① , ,且 , ② , ③ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答 .
已知 中,三个内角 , , 所对的边分别是 , , .
( 1 )求 的值;
( 2 )若 , 的面积是 ,点 是 的中点,求 的长度 .
( 如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 )
条件选择见解析;( 1 ) ;( 2 ) .
【分析】
( 1 )若选 ① :根据向量共线对应的坐标关系得到有关边和角的等式,然后利用正弦定理进行边化角,再结合两角和的正弦公式求解出 ;若选 ② :利用正弦定理进行边化角,再结合两角和的正弦公式求解出 ;若选 ③ :利用 结合两角和与差的余弦公式进行化简,然后求解出 ;
( 2 )根据三角形的面积公式以及余弦定理求解出 的值,再将 左右两边同时平方,根据向量数量积的计算公式求解出 的长度 .
【详解】
解:选 ① :由 得 ,
得 ,得 ,
又 , ,所以 ,又 ,所以 .
② 因为 ,
根据正弦定理得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 . 因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
③ 因为 ,
所以 ,
所以 .
因为 , ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 .
( 2 )在 中,由 , ,得 .
由 的面积为 ,得 ,所以 .
因为 是 的中点,所以 ,
从而 ,
所以 .
【点睛】
易错点睛:利用正、余弦定理解三角形的注意事项:
( 1 )注意隐含条件 “ ” 的使用;
( 2 )利用正弦定理进行边角互化时,等式两边同时约去某个三角函数值时,注意说明其不为 .
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析