已知函数 ,若函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称 .
(1) 求函数 的解析式;
(2) 若存在 ,使等式 成立 , 求实数 的取值范围 .
( 1 ) ;( 2 ) .
【分析】
( 1 )利用诱导公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式可化简 ,再利用 可得 的解析式 .
( 2 )令 ,则 ,则方程 在 有解,参变分离后可求 的取值范围 .
【详解】
( 1 ) ,
.
因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称,故 ,
所以 .
( 2 )令 , ,则 , .
所以方程 在 有解,
故方程 在 有解,
所以直线 与函数 , 的图象有公共点,
而函数 , 的值域为 ,
故 .
【点睛】
( 1 )三角函数的化简问题,可以从四个角度去分析: ① 看函数名的差异; ② 看结构的差异; ③ 看角的差异; ④ 看次数的差异.对应的方法是:弦切互化法、辅助角公式(或公式的逆用)、角的分拆与整合(用已知的角表示未知的角)、升幂降幂法.
( 2 )对于复合方程 的有解问题,可令 ,从而把复杂方程的解的存在性问题转为方程 在相应范围( 的值域)上的解的存在性问题 .
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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