如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，

（ Ⅰ ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；

（ Ⅱ ）求证： 平面 ；

（ Ⅲ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 .

答案

（ I ）见解析；（ II ）见解析；（ III ） .

【分析】

（ I ）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判定定理证得结果；

（ II ）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（ III ）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得结果 .

【详解】

（ I ）证明：连接 ，易知 ， ，

又由 ，故 ，

又因为 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .

（ II ）证明：取棱 的中点 ，连接 ，

依题意，得 ，

又因为平面 平面 ，平面 平面 ，

所以 平面 ，又 平面 ，故 ，

又已知 ， ，

所以 平面 .

（ III ）解：连接 ，

由（ II ）中 平面 ，

可知 为直线 与平面 所成的角 .

因为 为等边三角形， 且 为 的中点，

所以 ，又 ，

在 中， ，

所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .

【点睛】

本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力 .