已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且 ．

（ 1 ）求椭圆的方程；

（ 2 ）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） .

【分析】

（ 1 ）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程；

（ 2 ）设点 ，分析出直线 的方程为 ，求出点 的坐标，根据 可得出 ，求出 、 的值，即可得出直线 的方程 .

【详解】

（ 1 ）易知点 、 ，故 ，

因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，

因此，椭圆的方程为 ；

（ 2 ）设点 为椭圆 上一点，

先证明直线 的方程为 ，

联立 ，消去 并整理得 ， ，

因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .

在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，

直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，

在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，

因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，

所以， ，因为 ， ，故 ， ，

所以，直线 的方程为 ，即 .

【点睛】

结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：

（ 1 ）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；

（ 2 ）椭圆 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首先应证明直线 与椭圆 相切 .