已知 是公差为 2 的等差数列,其前 8 项和为 64 . 是公比大于 0 的等比数列, .
( I )求 和 的通项公式;
( II )记 ,
( i )证明 是等比数列;
( ii )证明
( I ) , ;( II )( i )证明见解析;( ii )证明见解析 .
【分析】
( I )由等差数列的求和公式运算可得 的通项,由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式;
( II )( i )运算可得 ,结合等比数列的定义即可得证;
( ii )放缩得 ,进而可得 ,结合错位相减法即可得证 .
【详解】
( I )因为 是公差为 2 的等差数列,其前 8 项和为 64 .
所以 ,所以 ,
所以 ;
设等比数列 的公比为 ,
所以 ,解得 (负值舍去),
所以 ;
( II )( i )由题意, ,
所以 ,
所以 ,且 ,
所以数列 是等比数列;
( ii )由题意知, ,
所以 ,
所以 ,
设 ,
则 ,
两式相减得 ,
所以 ,
所以 .
【点睛】
关键点点睛:
最后一问考查数列不等式的证明,因为 无法直接求解,应先放缩去除根号,再由错位相减法即可得证 .
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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