已知正三棱锥 的所有棱长都为 ,则以 PA 为直径的球的球面被侧面 PBC 所截得曲线的长为 ___________.
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【解析】
【分析】
作出辅助线,找到球面被侧面 PBC 所截得曲线是一段圆弧,求出弧长 .
【详解】
如图,
分别取 PA , BC 的中点为 O , D ,连接 AD , PD .
则 , , ,所以 平面 PAD .
又 平面 PBC ,所以平面 平面 PBC ,交线为 PD ,
过 A 作 ,垂足为 E ,则 平面 PCD .
过 O 作 . 垂足为 M ,所以 平面 PCD ,
由于平面截球所得的为圆面,且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直,
所以以 PA 为直径的球的球面被侧面 PBC 所截得曲线是以点 M 为圆心的一段圆弧 .
易知 E 是 的中心, M 是 PE 的中点,所以 M , E 分别是线段 PD 的两个三等分点,
即 ,所以所求曲线对应劣弧上的圆周角为 ,
所以对应的圆心角为 ,
易知 ,
所以所截得曲线长度 .
故答案为:
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
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