已知长方体的表面积为 ,所有棱长的总和是 ,则该长方体的对角线与棱所成角的最大值为( )
A . B . C . D .
D
【分析】设长方体三边长为 ,利用表面积和棱长综合可构造方程,从而求得 的值,结合基本不等式可构造不等式求得 的范围;设 为长方体的对角线与棱所成角,得到 ,结合余弦函数单调性可知当 最小时, 最大 .
【详解】设长方体三边长为 ,则 , 则 ,
,
又 ,整理可得: ,
解得: ,
设 为长方体的对角线与棱长为 的棱所成角, ,即 越小, 越大,
当 时, 取得最小值 ,此时 取得最大值 .
故选: D.
【点睛】关键点点睛:本题考查立体几何中的直线所成角的求解问题,解题关键是能够通过表面积和棱长之和,结合基本不等式构造不等式求得 的范围,由 的范围确定 最小值 .
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
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