已知 ,给出下述四个结论 :
① 是偶函数 ; ② 在 上为减函数 ;
③ 在 上为增函数 ; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是( )
A . ①②④ B . ①③④ C . ①②③ D . ①④
D
【分析】利用偶函数的定义即可判断 ① ;利用举反例即可判断 ② 和 ③ ;分四个范围对 进行化简,然后利用三角函数的性质进行求值域,即可得到 时的最值,结合偶函数即可判断
【详解】解:对于 ① ,易得 的定义域为 ,关于原点对称,
因为 ,所以 是偶函数,故正确;
对于 ② 和 ③ ,因为 ,
,
且 ,所以 在 不是减函数,在 也不是增函数,故 ② , ③ 错误;
对于 ④ ,当 时, ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ;
当 时, ,
因为 ,
所以 ,所以 ;
当 时, ;
当 时, ,
因为 ,
所以 ,所以 ,
所以,综上所述,当 时, 的最大值为 ,由于 为偶函数,所以当 时, 的最大值也为 ,故 的最大值为 ,故 ④ 正确;
故选: D
【点睛】方法点睛:利用四个象限对 进行讨论,根据三角函数符号去掉绝对值,然后利用三角函数的性质进行求解值域
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
登录并加入会员可无限制查看知识点解析