已知函数 .
(1) 若 , ,求 的值;
(2) 将函数 的图象向左平移 个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 的图象,若曲线 与 的图象关于直线 对称,求函数 在 上的值域.
(1) 或 0 或 ;
(2) .
【分析】 (1) 首先利用二倍角公式和辅助角公式化简 ,然后根据 的范围求解 即可; (2) 首先结合 (1) 中结论,利用平移变换和伸缩变换求 的解析式,然后根据对称关系求 的解析式,最后根据三角函数性质求 的值域即可 .
( 1 )
,
由 ,得 ,即 ,
故 或 , ,
即 或 , ,
又 ∵
∴ 或 0 或 .
( 2 )
将函数 的图象向左平移 个单位,可得函数图象的解析式为 ,
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 , ∵ 又曲线 与 的图象关于直线 对称,
∴ ,
∵ 当 时, ,即 ,
故函数 的值域为 .
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
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