如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：
＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若
，求直线l的斜率k．
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答案
解：（1）因为椭圆
＝1经过点(b，2e)，所以
＝1．
…………………… 2分
整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．
所以椭圆C的方程为
＝1． …………………… 4分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
联立直线l与椭圆方程
消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以
……………… 6分
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝
．
因为MN∥l，所以
…………………… 8分
因为 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝
，
（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
又因为k＞0，所以k＝
．
B
C
D
