【分析】由题意得 ，令 ，可求出 ，然后求出直线 与 在 上从左到右的第四个交点和第五个交点的横坐标，由题意可得 ，从而可求出结果 .

【详解】解：函数

，

令 ，

解得： ，或 （ ），

所以： 或 （ ），

设直线 与 在 上从左到右的第四个交点为 A ，第五个交点为 B ，

则： ， ．

由于方程 在 上有且只有四个实数根，

则 ，

即 ，

解得： ．

故答案为： ．

B

【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可 .

【详解】 ，

因为 ， 在 上为增函数，

所以 ，

所以 ，

故选： B

D

【分析】 所求 “ 兄弟点对 ” 的个数可转化为求 与 图像 的交点个数，作出两个函数的 图像 ，由图得出即可．

【详解】 设 ，则点 关于原点的对称点为 ，

于是， ，只需判断方程根的个数，

即 与 图像 的交点个数，

因为 ， ； ， ；

， ；

作出两函数的图象，由图知， 与 的图象有 5 个焦点， 所以 的 “ 兄弟点对 ” 的个数为 5 个．

故选： D ．

A

【分析】由 得周期，从而求得 ，再由 求得 得函数解析式，然后结合正弦函数的单调区间求解．

【详解】 ∵ ， ∴ 函数 的最小正周期为 ，即在 ，解得 ，又 ，即 ，又 ，故解得 ， ∴ ，

令 ，解得 ，

故选： A ．

A

【分析】由 求得 ，再利用正弦函数的性质求解 .

【详解】解： ∵ ，

解得 ，

∵ ，

∴ ，

令 ，

解得 ，

故选： A ．

D

【分析】利用偶函数的定义即可判断 ① ；利用举反例即可判断 ② 和 ③ ；分四个范围对 进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到 时的最值，结合偶函数即可判断

【详解】解：对于 ① ，易得 的定义域为 ，关于原点对称，

因为 ，所以 是偶函数，故正确；

对于 ② 和 ③ ，因为 ，

，

且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故 ② ， ③ 错误；

对于 ④ ，当 时， ，

因为 ，所以 ，

所以 ，所以 ；

当 时， ，

因为 ，

所以 ，所以 ；

当 时， ；

当 时， ，

因为 ，

所以 ，所以 ，

所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值也为 ，故 的最大值为 ，故 ④ 正确；

故选： D

【点睛】方法点睛：利用四个象限对 进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域

C

【分析】由辅助角公式，整理函数解析式，根据平移变换，结合对称性，可得答案 .

【详解】函数 ，

将函数 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a ＞ 0 ），

得到的函数： ， ∵ 所得图象关于 y 轴对称，

∴ ，解得 ，

∴ a 的最小值是 ．

故选： C ．

D

【分析】根据题意可得 ，则可求出 ，由于 ，所以利用正弦函数的性质可求出答案 .

【详解】解：因为函数 在 取最大值

所以 ，则 ，

所以 ，得

又因为 所以 ，

所以 ，

由 ，

得 ，

所以 的递增区间为 ，

所以 在 上的单调增区间是 ，

故选： D ．

A

【分析】由条件 ① 得出函数的周期，进而求得 的值，结合条件 ②③ 讨论并确定 和 的值，得函数解析式，最后结合函数图像可求得 的取值范围

【详解】解：因函数 最大值为 1 ，最小值为 - 1 ，而 ，且 最小值为 ，所以 为相邻两条对称轴， ，

当 时， ，

是奇函数，

所以 ，解得 ，

，所以 ，

而 即 ，当 为偶数时成立，

此时 ，

当 时， ，

是奇函数，

所以 ，解得 ，即 ，

所以 ，

所以 ，

而 ，即 ，

当 为偶数时成立，所以 ，

综上得 ，

当 时， ，因 在 没有最小值，

则有函数 在 上没有最小值，

从而有 ，解得 ，

故选： A

2

【分析】写出函数平移的解析式，正弦函数关于 y 轴对称时有 ，讨论 k 值即有 的最小值

【详解】依题意得， ，

所以 ， ，得 ， ， ，故 的最小值为 2 ．

故答案为： 2

(1)

(2) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．

【分析】（ 1 ）利用三角函数的周期公式可得答案；

（ 2 ）利用三角函数图像平移规律、伸缩变换得到函数 的图像的解析式，再利用正弦函数的单调性可得答案 .

（ 1 ）

由题意，知 ，所以 ；

（ 2 ）

由（ 1 ），知 ，

将函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到函数 的图像，

再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图像，

由 ，得 ；

由 ，得 ，

故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．

C

【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断 B ；通过判断 在 上的符号可判断 D ；通过判断 在 上的零点个数可判断 AC.

【详解】由题意可知， 的定义域为 ，

因为 ，所以 ，

故 为奇函数，从而 的图像关于原点对称，故 B 错误；

当 时， 且 ，此时 ，故 D 错误；

因为 在 上有无数个零点，

所以 在 上也有无数个零点，故 A 错误， C 正确 .

故选： C.

D

【分析】利用 为对称中心，列出方程，求出 ， ，求出 的最小值 .

【详解】由题意得： ， ，

解得： ， ，

所以 ， ，

当 时， 取得最小值为 .

故选： D

B

【分析】先判断函数的奇偶性，得到函数为奇函数，排除 A ，再根据函数的零点个数排除 D 选项，根据在 y 轴左侧附近时， 排除 C ，选出正确答案 .

【详解】由于 ，

∵ ，

∴ 是奇函数，图像关于原点对称，排除 A ，

令 ，得 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ 函数 有无数个零点，排除 D.

当 ， ，排除 C.

故选： B.

C

【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系 .

【详解】 ，

.

故选： C

C

【分析】由 f （ x ）是偶函数及 0≤ φ ≤π 可得 φ . 由图象关于点 M 对称，且在区间 上是单调函数，结合 ω ＞ 1 及余弦函数的图象与性质可求 ω.

【详解】解：由 f （ x ）是偶函数， φ ＝ k π ， ，

∵0≤ φ ≤π ， ∴ 当 k ＝ 0 时， φ .

∴ f （ x ）＝ sin （ ωx ）＝ cos ωx ，

∵ f （ x ）图象上的点关于 对称，

∴ ，故 k π ， ，

即 ， .

∵ f （ x ）在区间 上是单调函数，可得 ，即 ω ≤2.

又 ∵ , ， ω ＞ 1,

∴ 当 k ＝ 1 时可得 ω ＝ 2 ．

故选： C ．

1

【分析】利用整体法求解三角函数的最值 .

【详解】因为 ，所以 ，

所以 ，所以 的最大值为 1 ．

故答案为： 1

（答案不唯一）

【分析】根据性质 ①② 可知， 为奇函数且函数图像关于 对称，即可得到结果 .

【详解】因为 ，即满足性质 ①

又因为 ，

，且

所以 ，即满足性质 ②

故答案为 :

A

【分析】由三角函数的性质求解

【详解】函数 ，故求函数 的单调递增区间即可，

令 ，解得

故选： A

A

【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的 2 倍，求得 的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定 的范围，得到答案 .

【详解】由题意有 ，可得 ，又由 ，必有 ，可得 .

故选： A