若函数 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，就称区间 为 的一个 “ 倒域区间 ” ．定义在 上的奇函数 ，当 时， ．

（ 1 ）求 的解析式；

（ 2 ）求函数 在 内的 “ 倒域区间 ” ；

（ 3 ）若函数 在定义域内所有 “ 倒域区间 ” 上的图象作为函数 的图象，是否存在实数 ，使集合 恰含有 2 个元素？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进 “ 一户一表 ” 工程 非一户一表用户电费采用 “ 合表电价 ” 收费标准： 元 度 “ 一户一表 ” 用户电费采用阶梯电价收取，其 11 月到次年 4 月起执行非夏季标准如下：

例如：某用户 11 月用电 410 度，采用合表电价收费标准，应交电费 元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费 元．

为调查阶梯电价是否能取到 “ 减轻居民负担 ” 的效果，随机调查了该市 100 户的 11 月用电量，工作人员已经将 90 户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后 10 户的月用电量 单位：度 为： 88 、 268 、 370 、 140 、 440 、 420 、 520 、 320 、 230 、 380 ．

（ 1 ）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

根据已有信息，试估计全市住户 11 月的平均用电量 同一组数据用该区间的中点值作代表 ；

设某用户 11 月用电量为 x 度 ，按照合表电价收费标准应交 元，按照阶梯电价收费标准应交 元，请用 x 表示 和 ，并求当 时， x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计 “ 阶梯电价 ” 能否给不低于 的用户带来实惠？

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 . 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空 . 设每场比赛双方获胜的概率都为 ，

（ 1 ）求甲连胜四场的概率；

（ 2 ）求需要进行第五场比赛的概率；

（ 3 ）求丙最终获胜的概率 .

如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，

（ Ⅰ ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；

（ Ⅱ ）求证： 平面 ；

（ Ⅲ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 .

已知函数 ，若函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称 .

(1) 求函数 的解析式；

(2) 若存在 ，使等式 成立 , 求实数 的取值范围 .

在 ① ， ，且 ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答 .

已知 中，三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， .

（ 1 ）求 的值；

（ 2 ）若 ， 的面积是 ，点 是 的中点，求 的长度 .

( 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 )

如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为直角梯形， ， ， ，点 分别在线段 和 上，且 ．

（ 1 ）求证： 平面 ；

（ 2 ）设二面角 大小为 ，若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值．

近年来，在新高考改革中，打破文理分科的 “ ” 模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用 “ 赋分制 ” ，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体 、 、 、 和 划定 、 、 、 、 五个等级，并分别赋分为 分、 分、 分、 分和 分，为了让学生们体验 “ 赋分制 ” 计算成绩的方法，该省某高中高一（ ）班（共 人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分 分）频率分布直方图，地理成绩（满分 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史 分，地理 多分．

（ 1 ）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；

（ 2 ）若小明的地理成绩最后得分为 分，求小明的原始成绩的可能值；

（ 3 ）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．

的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 与 垂直 .

（ 1 ）求 的值；

（ 2 ）若 ，求 的面积 S 的最大值 .

如图，已知三棱锥 ， ， ， ， ， 为 的中点，且 为正三角形 .

（ 1 ）求证： 平面 ；

（ 2 ）求三棱锥 的体积 .

现有某城市 100 户居民的月平均用电量 ( 单位：度 ) 的数据，根据这些数据，以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示 .

（ 1 ）确定直方图中 的值，并求月平均用电量的众数和中位数；

（ 2 ）在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 内的用户中应抽取多少户？

“ 无字证明 ” 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用甲、乙、丙的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ______.

一组数据按从小到大的顺序排列为 1 ， 2 ， 2 ， ， 5 ， 10 ，其中 ，已知该组数据的中位数是众数的 倍，则该组数据的标准差为 ___________ ．

已知 ， ， ，则 与 的夹角为 ________.

已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边，且 ，点 在边 上，且 ， ，则 的面积最大值为 ___________.

若平面向量 两两所成的角相等，且 ，则 等于 _____

如图所示是一个样本容量为 100 的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其 25% 分位数为 ____________.

甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 ，乙同学一次投篮命中的概率为 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 ___________.

已知复数 ， ， ( 为虚数单位 ) ，且 ，则 ___________.

阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为 “ 阿基米德立体 ”.“ 阿基米德立体 ” 是一种高度对称的 “ 半正多面体 ”( 如图 ) ，并且都是可以从正多面体经过截角､截半､截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个视图全都一样 . 现将一个棱长为 10 的正方体木块加工成一个 “ 阿基米德立体 ” 工艺品，则所得的 “ 阿基米德立体 ” 工艺品共有 ___________ 个面，其表面积为 ___________ .