已知 a ， b ， c 均为正数，且 ，证明：

(1) ；

(2) 若 ，则 ．

答案

(1) 见解析

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；

（ 2 ）由（ 1 ）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证 .

【详解】（ 1 ） [ 方法一 ] ：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有 ，

所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .

[ 方法二 ] ：基本不等式

由 ， ， ， ，

当且仅当 时，取等号，所以 .

（ 2 ）证明：因为 ， ， ， ，由（ 1 ）得 ，

即 ，所以 ，

由权方和不等式知 ，

当且仅当 ，即 ， 时取等号，

所以 .

【点睛】（ 1 ）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．