若正四棱台的上、下底面的面积分别为 2 , 8 ,侧棱与下底面所成角的正切值为 2 ,则该正四棱台的体积为( )
A . B . C . D . 28
C
【解析】
【分析】
根据正四棱台的结构特征先求出该正四棱台的上、下底面的边长,然后根据侧棱与下底面所成角的正切值求得该正四棱台的高,最后利用台体的体积公式求解即可.
【详解】
设该正四棱台的高为 ,侧棱与下底面所成的角为 ,
因为该正四棱台的上、下底面的面积分别为 2 和 8 ,
所以该正四棱台的上底面边长为 ,下底面边长为 ,
则 ,所以 ,
所以该正四棱台的体积 .
故选: C.
已知三棱锥 中 , , 平面 , ,直线 与平面 所成角的正弦值为( )
A . B . C . D .
B
【解析】
【分析】
设 与平面 所成角为 ,根据 ,由 求解 .
【详解】
解:如图所示:
设 与平面 所成角为 ,则 点到平面 的距离为 ,
由 ,得 ① ,
在直角 与直角 中,由勾股定理可得 ,
又在 中,由余弦定理可得 ,
所以 ,
所以 为等边三角形,其面积为 ,
所以由 ① 式得 ,
解得 ,
故选: B.
如图,在三棱柱 中,过 的截面与 AC 交于点 D ,与 BC 交于点 E ,该截面将三棱柱分成体积相等的两部分,则 ( )
A . B . C . D .
D
【解析】
【分析】
利用棱柱,棱台的体积公式结合条件即得 .
【详解】
由题可知平面 与棱柱上,下底面分别交于 , ,
则 ∥ , ,
显然 是三棱台,
设 的面积为 1 , 的面积为 S ,三棱柱的高为 h ,
,
解得 ,
由 ,可得 .
故选: D.
已知四棱锥 中,底面 是边长为 4 的正方形,平面 平面 ,且 为等边三角形,则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A . B . C . D .
B
【解析】
【分析】
取侧面 和底面正方形 的外接圆的圆心分别为 ,分别过 , 作两个平面的垂线交于点 O ,得到点 O 即为该球的球心,取线段 的中点 E ,得到四边形 为矩形,分别求得 ,结合球的截面圆的性质,即可求解 .
【详解】
如图所示,在四棱锥 中,
取侧面 和底面正方形 的外接圆的圆心分别为 ,
分别过 , 作两个平面的垂线交于点 O ,
则由外接球的性质知,点 O 即为该球的球心,
取线段 的中点 E ,连 , , , ,则四边形 为矩形,
在等边 中,可得 ,则 ,即 ,
在正方形 中,因为 ,可得 ,
在直角 中,可得 ,即 ,
所以四棱锥 外接球的表面积为 .
故选: B.
2022 年北京冬奥会仪式火种台的创意灵感来自中国古老的青铜礼器 —— 何尊,如图,何尊是我国西周早期的青铜礼器,造型浑厚,工艺精美,其形状可视为圆台和圆柱的组合体,口径为 ,经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为 ,体积之比约为 ,则下面选项中与圆柱的底面直径最接近的值为( )
A . B . C . D .
D
【解析】
【分析】
设圆台的下底面半径为 ,圆台,圆柱的高分别为 , ,分别计算圆台和圆柱的体积,根据体积比为 列出关于 的方程,解出 即可
【详解】
设圆台的下底面半径为 ,圆台,圆柱的高分别为 , ,则 ,又 ,所以 ,即 ,解得 ,所以
故选: D
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