C

【分析】把 变形为 ，再由基本不等式求其最小值．

【详解】 ， ，

,

当且仅当 即 时等号成立，

的最小值为 ．

故选： ．

C

【分析】设 M 为 CD 的中点，连接 AM,BM , 设四面体 A - BCD 的高为 h ，利用等体积法表示出四面体的体积，利用三个正数的均值不等式即可求得答案 .

【详解】设 M 为 CD 的中点，连接 AM,BM ,

设四面体 A - BCD 的高为 h ，则 ,

由于 ，故 ,

则 , 设 ，

则 ,

所以

，

当且仅当平面 ACD 与平面 BCD 垂直且 即 时取等号，

故选： C

B

【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，结合棱柱的体积公式即可求解 .

【详解】由题意可知，设底面圆的半径为 ，则 , 解得 .

因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可，

.

当且仅当 ，即 时。等号成立，

所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，

.

所以能截得直三棱柱体积最大为 .

故选： B.

B

【分析】设圆柱的高为 h ，进而得到 ，再表达出表面积 ，再根据三元的均值不等式求解最小值即可

【详解】设圆柱的高为 h ， ∵ 圆柱的体积为 8 ， ∴ ，则 ，

∴ 圆柱的表面积 ，

∴ ，

当且仅当 ，即 时，等号成立

故选： B ．

A

【分析】当 时，结合不等式求得其最小值为 ，当 时， ，根据函数 的最小值为 ，列出不等式组，即可求解 .

【详解】当 时， ，

当且仅当 时，等号成立；

即当 时，函数 的最小值为 ，

当 时， ，

要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，

即实数 的取值范围是 .

故选： A.

A

【分析】利用三元均值不等式判断 A ，首先判断函数的周期性，再画出函数图象，数形结合即可判断 B ，根据周期性公式及对称性公式判断 C 、 D ；

【详解】解：对于 A ：考虑 时的最大值，

故 ，当时仅当 时取到，故 A 错误；

对于 B ：因为 ，所以 是以 为周期的周期函数，

函数图象如下所示：

所以方程 在 内解的个数为偶数，故 B 正确；

对于 C ：因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 为 的一条对称轴，故 C 正确；

对于 D ：因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 为函数的对称中心，故 D 正确；

故选： A

C

【分析】先对不等式的左侧两次运用均值不等式求出最小值，然后由恒成立问题处理策略转为最值即可求解 .

【详解】解：由题意，利用基本不等式可得

，

当且仅当 且 时等号成立，

因为 恒成立，即 ，

所以 ，

因为 Ü ，

所以已知 ，则 “ 恒成立 ” 是 “ ” 的必要不充分条件，

故选： C.

C

【分析】利用基本不等式 可得答案 .

【详解】长方体体积为 ，

因为 ，所以 ，

当且仅当 取得最大值 27 ，

此时表面积为 .

故选： C.

D

【分析】由对数的运算性质得 ，根据三元基本不等式求 最大值，注意等号成立条件，进而求 的最大值 .

【详解】 ，又 ，

∴ ，当且仅当 时等号成立，

∴ .

故选： D

D

【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．

【详解】解：设圆柱的半径为 ，高为 ，体积为 ，

则由题意可得

，

，

圆柱的体积为 ，

则 ．

当且仅当 ，即 时等号成立．

圆柱的最大体积为 ，

故选： D ．

【分析】设 ， ，点 到平面 距离为 ，进而结合和等体积法得 ，再根据基本不等式求解可得 当且仅当 时等号成立，再根据 计算即可得答案 .

【详解】解：设 ， ，

因为， 两两垂直，即 ， 平面 ，

所以 平面 ，

所以，三棱锥的体积为 ，是定值，

所以，

所以， ，

所以， 中 边上的高为 ，

所以， 的面积为

设点 到平面 距离为 ，

所以， ，

所以， ，

因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，

所以， ，当且仅当 ，即 时等号成立，

设直线 与平面 所成角为 ，则 .

故答案为：

36

【分析】由题设 O 是 的重心，连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，易得 分别是 、 中点，再应用线面垂直的判定、性质求证 、 ，即可知 为等边三角形，设其边长为 ，利用棱锥体积公式得 ，应用三元基本不等式求最大值，注意取值条件 .

【详解】由 P 在平面 ABC 的射影为 O ，且 ，

所以 O 是 的重心，连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，

则 分别是 、 中点，

由 面 ， 面 ，则 ，

又 H 是 的垂心，则 ，

而 ， 面 ，所以 面 ，

由 面 ，故 ，

由 面 ， 面 ，则 ，

又 ， 面 ，则 面 ，

由 面 ，所以 ，

而 面 ，则 ，又 ， ， 面 ，

所以 面 ， 面 ，则 ，

而 面 ，则 ，

又 ， 面 ，则 面 ，

由 面 ，则 ，即 ，

根据 ， ， 分别为 、 中点，故 为等边三角形，

设 边长为 ，则 ，故 ，又 ，

所以 ，则 ，

故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，

所以三棱锥体积的最大值是 36.

故答案为： 36

【点睛】关键点点睛：首先要判定 为等边三角形，再设 的边长，结合锥体体积公式、基本不等式求体积最大值 .

【分析】设 , 将 用 表示 , 再利用基本不等式即可得到最大值 .

【详解】如图：

设 , 则由 , 得： ， .

所以 （当且仅当 , 即 时 , 等号成立） .

故答案为： .

2

【分析】根据已知条件作出图形，利用棱锥的体积公式及勾股定理，结合基本不等式即可求解 .

【详解】如图所示，

设 的中点为 ，连结 ，很明显球心在 上，

设球心为 ，则 ，解得 .

在 中 , ，设 ，则 ，

解得 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，此时当其外接球的体积最小 .

即满足题意时三棱锥的高为 .

故答案为： .

##

【分析】由 ，利用四元基本不等式求最小值，注意等号成立条件 .

【详解】由题设 ，

则 .

当且仅当 ，即 时等号成立 .

所以 的最小值为 .

故答案为：

【分析】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，容积为 ，由 ，得到 ，进而求得表面积 ，结合不等式 ，即可求解 .

【详解】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，容积为 ，则 ，即有 ，

可得圆柱的表面积为

，

当且仅当 时，即 时 最小，即用料最省，

此时 ，可得 .

故答案为： .

2

【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到 的关系，变形后使用三个正数的基本不等式求解最小值 .

【详解】 定义域为 R ， 的定义域为 ，又 ， ，

设 在切点 处的切线即为斜率为 1 的直线，故 ，所以 ，则 ，

设 在切点 ，处的切线即为斜率为 1 的直线，则 ，则 ，

则 ，由两点间斜率公式得： ，则 ，由于 b >0 ，

则 ，当且仅当 ，

即 时，此时 等号成立，故 的最小值为 2.

故答案为： 2

【分析】设 ，再利用基本不等式的推广形式，即可求解 .

【详解】解：设

，

令 ，得：

，等号在 时取到 .

故 ，

故答案为：

【分析】此题用到了基本不等式的推广形式： ．变形后用公式即可求解最小值

【详解】 ，当且仅当 时，等号成立．

故答案为：

【详解】解析：最大值为 ．

记 ，则 ，故 ，即 ，对 ,

求和，并结合算术 - 几何平均不等式，

有 ，

故 ，等号当 时取到．

所以原式的最大值为 ．

故答案为： .

3

【分析】将 适当分拆后利用三元均值不等式求得最小值 .

【详解】 ，当且仅当 时等号成立 .

所以 的最小值 3 ，

故答案为： 3.

3

【分析】先用基本不等式求出 的最大值，进而求出 的最小值，再拆项，并利用三元均值不等式求出 的最小值 .

【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，

所以有 成立，因此

（当且仅当 时取等号），所以 的最小值为 3.

故答案为： 3.

9

【分析】利用公式 时， ，求 的最小值 .

【详解】 ，当且仅当 时等号成立 . 故 的最小值为 9.

故答案为：

【分析】利用三元基本不等式求函数值域，注意等号成立条件是否在定义域内 .

【详解】由 ，则 当且仅当 时等号成立，

∴ 函数值域为 .

故答案为： .

【分析】根据直三棱柱和球的对称性，知球心 O 必在三棱柱上下底面中心连线的中点，如图，设 的底边 ，则 ，由正弦定理求出底面外接圆的半径，再利用勾股定理求出三棱柱的高，求出三棱柱的体积结合不等式即可得解 .

【详解】根据直三棱柱和球的对称性，知球心 O 必在三棱柱上下底面中心连线的中点，如图所示，

设 的底边 ，则 ，

因为 是等腰三角形，所以 ，则 ，

由正弦定理得： ，

，

三棱柱的体积 ，

设 ，则 ，

，

当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，

故当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为

故答案为： .

【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1) 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2) 若球面上四点 P ， A ， B ， C 构成的三条线段 两两互相垂直，一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球内接长方体，利用 求解．

(1)

(2)12

【分析】（ 1 ）方法一：由题知 ，进而分类讨论求解即可；

方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；

（ 2 ）结合（ 1 ）得 ，进根据基本不等式求解即可 .

【详解】（ 1 ）解：方法一：

依题意得： ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

综上，当 时， 取得最小值 1 ，即 的最小值 ．

方法二：

根据绝对值三角不等式可得： ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

所以， 的最小值 ．

（ 2 ）解：由（ 1 ）知， ，

（当且仅当 时等号成立），

∴ ，

当且仅当 ，即 ， 时等号成立，

∴ 的最小值为 12 ．

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

【分析】（ 1 ）根据 3 个数的不等式关系即可求解，

（ 2 ）根据基本不等式即可求解 .

（ 1 ）

因为 均为正数，所以 ，

则 ，所以 .

当且仅当 时，取得等号 .

（ 2 ）

由基本不等式可知， ，

所以 .

，

当且仅当 时，取得等号 .

故 .

（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析 .

【分析】（ 1 ）（ 2 ）利用基本不等式证明即可；

【详解】（ 1 ）证明： ， ， 均为正实数，且 ，

，

当且仅当 时，等号成立，

．

（ 2 ）证明：因为 ，

所以 ，当且仅当 即 时取等号，

所以 的最小值为 .

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

【分析】（ 1 ）利用重要不等式，结合综合法得证；

（ 2 ）利用三元均值不等式即可证明不等式 .

（ 1 ）

由已知可得

，

当且仅当 时，等号成立．

又 a ， b ， c 均为正数，所以 ．

（ 2 ）

因为 ，

当且仅当 时，等号成立，

所以 ，整理得 ，

所以 ，

当且仅当 时，等号成立．

(1)6

(2) 证明见解析

【分析】（ 1 ）利用三元基本不等式求解即可 .

（ 2 ）利用基本不等式证明即可得到答案 .

（ 1 ）

由基本不等式可知 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

所以 的最小值为 6 .

（ 2 ）

因为 ，所以 .

.

同理可得 ，

所以 ，

当且仅当 时等号成立 .

所以 ，

即

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

【分析】（ 1 ）利用三元均值不等式即可证明；

（ 2 ）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

（ 1 ）

证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，

所以 ，

即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．

（ 2 ）

证明：因为 ， ， ，

所以 ， ， ，

所以 ， ，

当且仅当 时取等号．

(1)3

(2)

【分析】（ 1 ）由题意可知方程 的根为 ，利用根与系数的关系可求出 的值，再根据绝对值三角不等式即可求出结果；

（ 2 ）根据题意可知 ，再根据 ，利用基本不等式即可求出结果 .

(1)

解：由于不等式的解集为 或 ，

所以 ．

∴ （当且仅当 时，等号成立）

(2)

解：当 时，不等式为 ，

因为 ， ，所以可得 ，

所以

（当且仅当 时，等号成立），所以 的最小值等于 ．

(1) 证明详见解析；

(2) 证明详见解析 .

【分析】（ 1 ）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；

（ 2 ）结合（ 1 ）的结论，以及基本不等式的公式，即可求解 .

（ 1 ）

证明： ∵ ，

当且仅当 a=b=c 时，等号成立，

设 ， ∴ ，

即 ，解得 ，

∵ a ， b ， c 为正数， ∴ ，

∴ .

（ 2 ）

∵

由（ 1 ）可得， ∴

∴ ，

∵ ，当且仅当 时，等号成立 .

∴ ，当且仅当 时，等号成立 .

(1)

(2)3

【分析】（ 1 ）讨论 ， ， ，去掉 绝对值，解不等式即可得出答案

（ 2 ）首先求出 的单调性，得出 ，即可求出 ，再由三元基本不等式可得出答案 .

（ 1 ）

当 时， ，即 ，无解；

时， ，解得 ；

当 时， ，解得 ．不等式 的解集为

（ 2 ）

当 时， ，此时函数 单调递增；

当 时， ，此时函数 单调递增；

当 时， ，此时函数 单调递减．

所以， ， ，所以， ，

因为 且 ，则 ，

由三元基本不等式可得 ，

当且仅当 ，即 时取到等号，故 的最小值为 3 ．

厘米所用材料最少 .

【分析】由圆柱的体积公式可得 ，再由表面积公式有 ，应用三元基本不等式求其最小值，并确定等号成立条件即可得结果 .

【详解】由 ，则 ，即 ，

圆柱表面积为 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

所以，当底面半径 r 为 厘米时每个金属饮料罐所用的材料最少 .