若 , ,求 的最小值为( )
A . B . C . D .
C
【分析】把 变形为 ,再由基本不等式求其最小值.
【详解】 , ,
,
当且仅当 即 时等号成立,
的最小值为 .
故选: .
已知四面体 中, ,则 体积的最大值为( )
A . B . C . D .
C
【分析】设 M 为 CD 的中点,连接 AM,BM , 设四面体 A - BCD 的高为 h ,利用等体积法表示出四面体的体积,利用三个正数的均值不等式即可求得答案 .
【详解】设 M 为 CD 的中点,连接 AM,BM ,
设四面体 A - BCD 的高为 h ,则 ,
由于 ,故 ,
则 , 设 ,
则 ,
所以
,
当且仅当平面 ACD 与平面 BCD 垂直且 即 时取等号,
故选: C
如图,某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具,已知该圆柱底面圆面积为 ,高为 6 ,则能截得直三棱柱体积最大为( )
A . B . C . D .
B
【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式,再利用正弦定理及三元基本不等式,结合棱柱的体积公式即可求解 .
【详解】由题意可知,设底面圆的半径为 ,则 , 解得 .
因为直三棱柱的定义可知,要使能截得直三棱柱体积最大,只需要圆的内接三角形面积最大即可,
.
当且仅当 ,即 时。等号成立,
所以三角形是正三角形时,圆的内接三角形面积最大,
.
所以能截得直三棱柱体积最大为 .
故选: B.
已知一个体积为 8 的圆柱,其底面半径为 r ,当其表面积最小时, r =( ).
A . B . C . D .
B
【分析】设圆柱的高为 h ,进而得到 ,再表达出表面积 ,再根据三元的均值不等式求解最小值即可
【详解】设圆柱的高为 h , ∵ 圆柱的体积为 8 , ∴ ,则 ,
∴ 圆柱的表面积 ,
∴ ,
当且仅当 ,即 时,等号成立
故选: B .
设 ,函数 ,若 的最小值为 ,则实数 的取值范围为( )
A . B . C . D .
A
【分析】当 时,结合不等式求得其最小值为 ,当 时, ,根据函数 的最小值为 ,列出不等式组,即可求解 .
【详解】当 时, ,
当且仅当 时,等号成立;
即当 时,函数 的最小值为 ,
当 时, ,
要使得函数 的最小值为 ,则满足 ,解得 ,
即实数 的取值范围是 .
故选: A.
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