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2022-2023学年度高中数学——三元基本(均值)不等式练习题含解析
2022-2023学年度高中数学——三元基本(均值)不等式练习题含解析
高中
整体难度:中等
2022-11-08
题号
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一、选择题 (共10题)
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1.

,求 的最小值为(

A B C D

难度:
知识点:不等式
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【答案】

C

【分析】把 变形为 ,再由基本不等式求其最小值.

【详解】

,

当且仅当 时等号成立,

的最小值为

故选:

2.

已知四面体 中, ,则 体积的最大值为(

A B C D

难度:
知识点:空间几何体
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【答案】

C

【分析】设 M CD 的中点,连接 AM,BM , 设四面体 A - BCD 的高为 h ,利用等体积法表示出四面体的体积,利用三个正数的均值不等式即可求得答案 .

【详解】设 M CD 的中点,连接 AM,BM ,

设四面体 A - BCD 的高为 h ,则 ,

由于 ,故 ,

,

,

所以

当且仅当平面 ACD 与平面 BCD 垂直且 时取等号,

故选: C

3.

如图,某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具,已知该圆柱底面圆面积为 ,高为 6 ,则能截得直三棱柱体积最大为(

A B C D

难度:
知识点:三角函数
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【答案】

B

【分析】根据直三棱柱的定义及三角形的面积公式,再利用正弦定理及三元基本不等式,结合棱柱的体积公式即可求解 .

【详解】由题意可知,设底面圆的半径为 ,则 , 解得 .

因为直三棱柱的定义可知,要使能截得直三棱柱体积最大,只需要圆的内接三角形面积最大即可,

.

当且仅当 ,即 时。等号成立,

所以三角形是正三角形时,圆的内接三角形面积最大,

.

所以能截得直三棱柱体积最大为 .

故选: B.

4.

已知一个体积为 8 的圆柱,其底面半径为 r ,当其表面积最小时, r =( ).

A B C D

难度:
知识点:空间几何体
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【答案】

B

【分析】设圆柱的高为 h ,进而得到 ,再表达出表面积 ,再根据三元的均值不等式求解最小值即可

【详解】设圆柱的高为 h 圆柱的体积为 8 ,则

圆柱的表面积

当且仅当 ,即 时,等号成立

故选: B

5.

,函数 ,若 的最小值为 ,则实数 的取值范围为(

A B C D

难度:
知识点:基本初等函数I
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【答案】

A

【分析】当 时,结合不等式求得其最小值为 ,当 时, ,根据函数 的最小值为 ,列出不等式组,即可求解 .

【详解】当 时,

当且仅当 时,等号成立;

即当 时,函数 的最小值为

时,

要使得函数 的最小值为 ,则满足 ,解得

即实数 的取值范围是 .

故选: A.

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试题总数:
35
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
17
48.57%
容易
8
22.85%
偏难
6
17.14%
基础
3
8.57%
很难
1
2.85%
题型统计
大题类型
数量
占比
选择题
10
28.57%
填空题
15
42.85%
解答题
10
28.57%
知识点统计
知识点
数量
占比
不等式
6
17.14%
空间几何体
7
20.0%
三角函数
2
5.71%
基本初等函数I
4
11.42%
常用逻辑用语
1
2.85%
不等式选讲
12
34.28%
点 直线 平面之间的位置
1
2.85%
平面向量
1
2.85%
导数及其应用
1
2.85%
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