D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项．

【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，

故选： D ．

B

【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．

【详解】由题意有 ，故 ．

故选： B ．

A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．

故选： A ．

C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．

【详解】 ，故 A 错误， C 正确；

，不是常数，故 BD 错误；

故选： C ．

C

【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项 .

【详解】因为 .

对于 A 选项，当 时， ，则 在 上单调递增， A 错；

对于 B 选项，当 时， ，则 在 上不单调， B 错；

对于 C 选项，当 时， ，则 在 上单调递减， C 对；

对于 D 选项，当 时， ，则 在 上不单调， D 错 .

故选： C.

C

【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论 .

【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数 .

若 为单调递增数列，则 ，

若 ，则当 时， ；若 ，则 ，

由 可得 ，取 ，则当 时， ，

所以， “ 是递增数列 ” “ 存在正整数 ，当 时， ” ；

若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，

假设 ，令 可得 ，且 ，

当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列 .

所以， “ 是递增数列 ” “ 存在正整数 ，当 时， ”.

所以， “ 是递增数列 ” 是 “ 存在正整数 ，当 时， ” 的充分必要条件 .

故选： C.

D

【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项 .

【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故 A 错误 .

当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故 B 错误 .

当 ， 时， 与 4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故 C 错误 .

当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故 D 正确 .

故选： D

B

【分析】利用赋值法可求 的值 .

【详解】令 ，则 ，

令 ，则 ，

故 ，

故选： B.

B

【分析】求出以 为球心， 5 为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积 .

【详解】

设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，

且 ，故 .

因为 ，故 ，

故 的轨迹为以 为圆心， 1 为半径的圆，

而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，

故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为

故选： B

D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，

因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，

设 ， ，

所以 ， ，

所以

，其中 ， ，

因为 ，所以 ，即 ；

故选： D

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，

故函数的定义域为 ；

故答案为：

【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；

【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，

则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，

所以 ，即 ，解得 ；

故答案为：

①③④

【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断 ① ；利用反证法可判断 ②④ ；利用数列单调性的定义可判断 ③.

【详解】由题意可知， ， ，

当 时， ，可得 ；

当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，

所以， ，则 ，整理可得 ，

因为 ，解得 ， ① 对；

假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，

所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，

故数列 不是等比数列， ② 错；

当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列， ③ 对；

假设对任意的 ， ，则 ，

所以， ，与假设矛盾，假设不成立， ④ 对 .

故答案为： ①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断 ②④ 的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导 .

1

【分析】先代入零点，求得 A 的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可 .

【详解】 ∵ ， ∴

∴

故答案为： 1 ，

0 （答案不唯一） 1

【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知 或 ， 解得 .

【详解】解：若 时， ， ∴ ；

若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求；

若 时，

当 时， 单调递减， ，

当 时，

∴ 或 ，

解得 ，

综上可得 ；

故答案为： 0 （答案不唯一）， 1

(1)

(2)

【分析】（ 1 ）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；

（ 2 ）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长 .

【详解】（ 1 ）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，

可得 ，因此， .

（ 2 ）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .

由余弦定理可得 ， ，

所以， 的周长为 .

(1) 见解析

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面 .

（ 2 ）选 ①② 均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值 .

【详解】（ 1 ）取 的中点为 ，连接 ，

由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，

而 ，则 ，

而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，

而 ，则 ，同理可得 平面 ，

而 平面 ，

故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，

（ 2 ）因为侧面 为正方形，故 ，

而 平面 ，平面 平面 ，

平面 平面 ，故 平面 ，

因为 ，故 平面 ，

因为 平面 ，故 ，

若选 ① ，则 ，而 ， ，

故 平面 ，而 平面 ，故 ，

所以 ，而 ， ，故 平面 ，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，

故 ，

设平面 的法向量为 ，

则 ，从而 ，取 ，则 ，

设直线 与平面 所成的角为 ，则

.

若选 ② ，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，

故 ，而 ，故 ，

而 ， ，故 ，

所以 ，故 ，

而 ， ，故 平面 ，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，

故 ，

设平面 的法向量为 ，

则 ，从而 ，取 ，则 ，

设直线 与平面 所成的角为 ，则

.

(1)0.4

(2)

(3) 丙

【分析】 (1) 由频率估计概率即可

(2) 求解得 X 的分布列，即可计算出 X 的数学期望 .

(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大 .

【详解】（ 1 ）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为 0.4 ，乙获得优秀的概率为 0.5 ，丙获得优秀的概率为 0.5 ，

故答案为 0.4

（ 2 ）设甲获得优秀为事件 A ₁ , 乙获得优秀为事件 A ₂ ，丙获得优秀为事件 A ₃

，

，

，

.

∴ X 的分布列为

∴

（ 3 ）丙夺冠概率估计值最大 .

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩 . 比赛一次，丙获得 9.85 的概率为 ，甲获得 9.80 的概率为 ，乙获得 9.78 的概率为 . 并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利 .

(1)

(2)

【分析】（ 1 ）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程；

（ 2 ）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程，解得即可；

【详解】（ 1 ）解：依题意可得 ， ，又 ，

所以 ，所以椭圆方程为 ；

（ 2 ）解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，

由 ，消去 整理得 ，

所以 ，解得 ，

所以 ， ，

直线 的方程为 ，令 ，解得 ，

直线 的方程为 ，令 ，解得 ，

所以

，

所以 ，

即

即

即

整理得 ，解得

(1)

(2) 在 上单调递增 .

(3) 证明见解析

【分析】（ 1 ）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

（ 2 ）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

（ 3 ）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在 [0,+∞ ）上单调递增，即得证 .

【详解】（ 1 ）解：因为 ，所以 ，

即切点坐标为 ，

又 ，

∴ 切线斜率

∴ 切线方程为：

（ 2 ）解：因为 ，

所以 ，

令 ，

则 ，

∴ 在 上单调递增，

∴

∴ 在 上恒成立，

∴ 在 上单调递增 .

（ 3 ）解：原不等式等价于 ，

令 ， ，

即证 ，

∵ ，

，

由（ 2 ）知 在 上单调递增，

∴ ，

∴

∴ 在 上单调递增，又因为 ，

∴ ，所以命题得证 .

(1) 是 连续可表数列；不是 连续可表数列．

(2) 证明见解析．

(3) 证明见解析．

【分析】（ 1 ）直接利用定义验证即可；

（ 2 ）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可；

（ 3 ） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可知里面必然有负数，再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可．

【详解】（ 1 ） ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．

（ 2 ）若 , 设为 , 则至多 ， 6 个数字，没有 个，矛盾；

当 时 , 数列 ，满足 ， ， ， ， ， ， ， ， ．

（ 3 ） ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，

若 ，则 至多可表 个数，矛盾 ,

从而若 , 则 ， 至多可表 个数，

而 ，所以其中有负的，从而 可表 1~20 及那个负数（恰 21 个），这表明 中仅一个负的，没有 0 ，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同 , 设那个负数为 ，

则所有数之和 ， ，

，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，

（仅一种方式），

与 2 相邻，

若 不在两端 , 则 形式，

若 ，则 （有 2 种结果相同，方式矛盾），

， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，

若 , 则 （有 2 种结果相同，矛盾）， 同理不行，

，则 （有 2 种结果相同，矛盾），从而 ，

由于 , 由表法唯一知 3,4 不相邻 , 、

故只能 ， ① 或 ， ②

这 2 种情形，

对 ① ： ，矛盾，

对 ② ： ，也矛盾，综上 ，

当 时，数列 满足题意，

．

【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从 到 中间的任意一个值．本题第二问 时，通过和值可能个数否定 ；第三问先通过和值的可能个数否定 ，再验证 时，数列中的几项如果符合必然是 的一个排序，可验证这组数不合题．