D

【分析】求出集合 后可求 .

【详解】 ，故 ，

故选： D

D

【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .

【详解】由题设有 ，故 ，故 ，

故选： D

B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点 D 在边 AB 上， ，所以 ，即 ，

所以 ．

故选： B ．

C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．

【详解】依题意可知棱台的高为 (m) ，所以增加的水量即为棱台的体积 ．

棱台上底面积 ，下底面积 ，

∴

．

故选： C ．

D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解 .

【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有 种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有： ，共 7 种，

故所求概率 .

故选： D.

A

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解 .

【详解】由函数的最小正周期 T 满足 ，得 ，解得 ，

又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，

所以 ，所以 ， ，

所以 .

故选： A

C

【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小 .

【详解】 方法一：构造法

设 ，因为 ，

当 时， ，当 时 ，

所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，

所以 ，所以 ，故 ，即 ，

所以 ，所以 ，故 ，所以 ，

故 ，

设 ，则 ,

令 ， ，

当 时， ，函数 单调递减，

当 时， ，函数 单调递增，

又 ，

所以当 时， ，

所以当 时， ，函数 单调递增，

所以 ，即 ，所以

故选： C.

方法二：比较法

解： ， ， ，

① ，

令

则 ，

故 在 上单调递减，

可得 ，即 ，所以 ；

② ，

令

则 ，

令 ，所以 ，

所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，

所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以

故

C

【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围 .

【详解】 ∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,

[ 方法一 ] ：导数法

设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，

则 ， ,

所以 ，

所以正四棱锥的体积 ，

所以 ，

当 时， ，当 时， ，

所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，

又 时， ， 时， ,

所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，

所以该正四棱锥体积的取值范围是 .

故选： C.

[ 方法二 ] ：基本不等式法

由方法一故所以 当且仅当 取到 ，

当 时，得 ，则

当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，

，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是

ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可 .

【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，

因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ， A 正确；

连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，

因为 ， ，所以 平面 ，

又 平面 ，所以 ，故 B 正确；

连接 ，设 ，连接 ，

因为 平面 ， 平面 ，则 ，

因为 ， ，所以 平面 ，

所以 为直线 与平面 所成的角，

设正方体棱长为 ，则 ， ， ，

所以，直线 与平面 所成的角为 ，故 C 错误；

因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故 D 正确 .

故选： ABD

AC

【分析】利用极值点的定义可判断 A ，结合 的单调性、极值可判断 B ，利用平移可判断 C ；利用导数的几何意义判断 D.

【详解】由题， ，令 得 或 ，

令 得 ，

所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故 A 正确；

因 ， ， ，

所以，函数 在 上有一个零点，

当 时， ，即函数 在 上无零点，

综上所述，函数 有一个零点，故 B 错误；

令 ，该函数的定义域为 ， ，

则 是奇函数， 是 的对称中心，

将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，

所以点 是曲线 的对称中心，故 C 正确；

令 ，可得 ，又 ，

当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故 D 错误 .

故选： AC.

BCD

【分析】求出抛物线方程可判断 A ，联立 AB 与抛物线的方程求交点可判断 B ，利用距离公式及弦长公式可判断 C 、 D.

【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ， A 错误；

，所以直线 的方程为 ，

联立 ，可得 ，解得 ，故 B 正确；

设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，

所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，

联立 ，得 ，

所以 ，所以 或 ， ，

又 ， ，

所以 ，故 C 正确；

因为 ， ，

所以 ，而 ，故 D 正确 .

故选： BCD

BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解 .

【详解】 [ 方法一 ] ：对称性和周期性的关系研究

对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ① ，所以 ，所以 关于 对称，则 ，故 C 正确；

对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由 ① 求导，和 ，得 ，所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为 R ，所以 ，结合 关于 对称，从而周期 ，所以 ， ，故 B 正确， D 错误；

若函数 满足题设条件，则函数 （ C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故 A 错误 .

故选： BC.

[ 方法二 ] ：【最优解】特殊值，构造函数法 .

由方法一知 周期为 2 ，关于 对称，故可设 ，则 ，显然 A ， D 错误，选 BC.

故选： BC.

[ 方法三 ] ：

因为 ， 均为偶函数，

所以 即 ， ，

所以 ， ，则 ，故 C 正确；

函数 ， 的图象分别关于直线 对称，

又 ，且函数 可导，

所以 ，

所以 ，所以 ，

所以 ， ，故 B 正确， D 错误；

若函数 满足题设条件，则函数 （ C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故 A 错误 .

故选： BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

-28

【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解 .

【详解】因为 ，

所以 的展开式中含 的项为 ，

的展开式中 的系数为 -28

故答案为： -28

或 或

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可 .

【详解】 [ 方法一 ] ：

显然直线的斜率不为 0 ，不妨设直线方程为 ，

于是 ，

故 ① ， 于是 或 ，

再结合 ① 解得 或 或 ，

所以直线方程有三条，分别为 ， ，

填一条即可

[ 方法二 ] ：

设圆 的圆心 ，半径为 ，

圆 的圆心 ，半径 ，

则 ，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；

又由方程 和 相减可得方程 ，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 ，

直线 OC 与直线 的交点为 ，

设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，

从而该切线的方程为 填一条即可

[ 方法三 ] ：

圆 的圆心为 ，半径为 ，

圆 的圆心 为 ，半径为 ，

两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为 l 时，因为 ，所以 ，设方程为

O 到 l 的距离 ，解得 ，所以 l 的方程为 ，

当切线为 m 时，设直线方程为 ，其中 ， ，

由题意 ，解得 ，

当切线为 n 时，易知切线方程为 ，

故答案为： 或 或 .

【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围 .

【详解】 ∵ ， ∴ ，

设切点为 , 则 , 切线斜率 ,

切线方程为： ,

∵ 切线过原点， ∴ ,

整理得： ,

∵ 切线有两条， ∴ , 解得 或 ,

∴ 的取值范围是 ,

故答案为：

13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .

【详解】 ∵ 椭圆的离心率为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示， ∵ ， ∴ ， ∴ 为正三角形， ∵ 过 且垂直于 的直线与 C 交于 D ， E 两点， 为线段 的垂直平分线， ∴ 直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，

判别式 ，

∴ ，

∴ ， 得 ，

∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ， ∴ 的周长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为 .

故答案为： 13.

(1)

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系得到当 时， , 进而得： ，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；

（ 2 ）由（ 1 ）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得 .

【详解】（ 1 ） ∵ ， ∴ ,∴ ,

又 ∵ 是公差为 的等差数列，

∴ ,∴ ,

∴ 当 时， ，

∴ ,

整理得： ,

即 ,

∴

，

显然对于 也成立，

∴ 的通项公式 ；

（ 2 ）

∴

(1) ；

(2) ．

【分析】（ 1 ）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出；

（ 2 ）由（ 1 ）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（ 1 ）因为 ，即 ，

而 ，所以 ；

（ 2 ）由（ 1 ）知， ，所以 ，

而 ，

所以 ，即有 ，所以

所以

．

当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．

(1)

(2)

【分析】（ 1 ）由等体积法运算即可得解；

（ 2 ）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解 .

【详解】（ 1 ）在直三棱柱 中，设点 A 到平面 的距离为 h ，

则 ，

解得 ，

所以点 A 到平面 的距离为 ；

（ 2 ）取 的中点 E , 连接 AE , 如图，因为 ，所以 ,

又平面 平面 ，平面 平面 ，

且 平面 ，所以 平面 ，

在直三棱柱 中， 平面 ，

由 平面 ， 平面 可得 ， ，

又 平面 且相交，所以 平面 ，

所以 两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（ 1 ）得 ，所以 ， ，所以 ，

则 , 所以 的中点 ，

则 ， ,

设平面 的一个法向量 ，则 ，

可取 ，

设平面 的一个法向量 ，则 ，

可取 ，

则 ，

所以二面角 的正弦值为 .

(1) 答案见解析

(2) （ i ）证明见解析； (ii) ；

【分析】 (1) 由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异； (2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明； (ii) 根据（ i ）结合已知数据求 .

【详解】（ 1 ）由已知 ，

又 ， ，

所以有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 .

（ 2 ） (i) 因为 ，

所以

所以 ，

(ii)

由已知 ， ，

又 ， ，

所以

(1) ；

(2) ．

【分析】（ 1 ）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线 l 的斜率存在，设 ， ，再根据 ，即可解出 l 的斜率；

（ 2 ）根据直线 的斜率之和为 0 可知直线 的倾斜角互补，根据 即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程求出点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出点 A 到直线 的距离，即可得出 的面积．

【详解】（ 1 ）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线 ．

易知直线 l 的斜率存在，设 ， ，

联立 可得， ，

所以， ， 且 ．

所以由 可得， ，

即 ，

即 ，

所以 ，

化简得， ，即 ，

所以 或 ，

当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，

故 ．

（ 2 ） ［方法一］：【最优解】常规转化

不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（ 1 ）知， ，

当 均在双曲线左支时， ，所以 ，

即 ，解得 （负值舍去）

此时 PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当 均在双曲线右支时，

因为 ，所以 ，即 ，

即 ，解得 （负值舍去），

于是，直线 ，直线 ，

联立 可得， ，

因为方程有一个根为 ，所以 ， ，

同理可得， ， ．

所以 ， ，点 到直线 的距离 ，

故 的面积为 ．

［方法二］：

设直线 AP 的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，

由 ，得 ，即 ，

联立 ，及 得 ， ，

同理， ， ，故 ，

而 ， ，

由 ，得 ，

故

【整体点评】（ 2 ）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线 的斜率，从而联立求出点 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；

法二：前面解答与法一求解点 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．

(1)

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求 a. 注意分类讨论 .

（ 2 ）根据（ 1 ）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为 2 ，构建新函数 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列 .

【详解】（ 1 ） 的定义域为 ，而 ，

若 ，则 ，此时 无最小值，故 .

的定义域为 ，而 .

当 时， ，故 在 上为减函数，

当 时， ，故 在 上为增函数，

故 .

当 时， ，故 在 上为减函数，

当 时， ，故 在 上为增函数，

故 .

因为 和 有相同的最小值，

故 ，整理得到 ，其中 ，

设 ，则 ，

故 为 上的减函数，而 ，

故 的唯一解为 ，故 的解为 .

综上， .

（ 2 ） [ 方法一 ] ：

由（ 1 ）可得 和 的最小值为 .

当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数 .

设 ， ，

当 时， ，当 时， ，

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

所以 ，

而 ， ，

设 ，其中 ，则 ，

故 在 上为增函数，故 ，

故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为 2.

设 ， ，

当 时， ，当 时， ，

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

所以 ，

而 ， ，

有两个不同的零点即 的解的个数为 2.

当 ，由（ 1 ）讨论可得 、 仅有一个解，

当 时，由（ 1 ）讨论可得 、 均无根，

故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，

则 .

设 ，其中 ，故 ，

设 ， ，则 ，

故 在 上为增函数，故 即 ，

所以 ，所以 在 上为增函数，

而 ， ，

故 上有且只有一个零点 ， 且：

当 时， 即 即 ，

当 时， 即 即 ，

因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，

故 ，

此时 有两个不同的根 ，

此时 有两个不同的根 ，

故 ， ， ，

所以 即 即 ，

故 为方程 的解，同理 也为方程 的解

又 可化为 即 即 ，

故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，

所以 ，而 ，

故 即 .

[ 方法二 ] ：

由 知， ， ，

且 在 上单调递减，在 上单调递增；

在 上单调递减，在 上单调递增，且

① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和

共有 0 个交点，不符合题意；

② 时，此时 ，

故 与两条曲线 和 共有 2 个交点，交点的横坐标分别为 0 和 1 ；

③ 时，首先，证明 与曲线 有 2 个交点，

即证明 有 2 个零点， ，

所以 在 上单调递减，在 上单调递增，

又因为 ， ， ，

令 ，则 ，

所以 在 上存在且只存在 1 个零点，设为 ，在 上存在且只存在 1 个零点，设为

其次，证明 与曲线和 有 2 个交点，

即证明 有 2 个零点， ，

所以 上单调递减，在 上单调递增，

又因为 ， ， ，

令 ，则 ，

所以 在 上存在且只存在 1 个零点，设为 ，在 上存在且只存在 1 个零点，设为

再次，证明存在 b ，使得

因为 ，所以 ，

若 ，则 ，即 ，

所以只需证明 在 上有解即可，

即 在 上有零点，

因为 ， ，

所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，

此时取

则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，

最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为

所以 ，

又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，

同理，因为 ，

又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，

又因为 ，所以 ，

即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 .

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系 .