B

【分析】方法一：求出集合 后可求 .

【详解】 [ 方法一 ] ：直接法

因为 ，故 ，故选： B.

[ 方法二 ] ：【最优解】代入排除法

代入集合 ，可得 ，不满足，排除 A 、 D ；

代入集合 ，可得 ，不满足，排除 C.

故选： B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

D

【分析】利用复数的乘法可求 .

【详解】 ，

故选： D.

D

【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项 .

【详解】设 ，则 ，

依题意，有 ，且 ，

所以 ，故 ，

故选： D

C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解： , , 即 , 解得 ,

故选： C

B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列 , 有 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这 5 名同学共有： 种不同的排列方式，

故选： B

C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解 .

【详解】 [ 方法一 ] ：直接法

由已知得： ,

即： ，

即：

所以

故选： C

[ 方法二 ] ：特殊值排除法

解法一 : 设 β=0 则 sinα +cosα =0 ，取 ，排除 A, B ；

再取 α=0 则 sinβ +cosβ= 2sinβ ，取 β ，排除 D ；选 C.

[ 方法三 ] ：三角恒等变换

所以

即

故选： C.

A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为 ．

故选： A ．

A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出．

【详解】 [ 方法一 ] ：赋值加性质

因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为 ， ， ， ， ，所以

一个周期内的 ．由于 22 除以 6 余 4 ，

所以 ．故选： A ．

[ 方法二 ] ：【最优解】构造特殊函数

由 ，联想到余弦函数和差化积公式

，可设 ，则由方法一中 知 ，解得 ，取 ，

所以 ，则

，所以 符合条件，因此 的周期 ， ，且 ，所以 ，

由于 22 除以 6 余 4 ，

所以 ．故选： A ．

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解 .

AD

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．

【详解】由题意得： ，所以 ， ，

即 ，

又 ，所以 时， ，故 ．

对 A ，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；

对 B ，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有 1 个极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；

对 C ，当 时， ， ，直线 不是对称轴；

对 D ，由 得： ，

解得 或 ,

从而得： 或 ,

所以函数 在点 处的切线斜率为 ，

切线方程为： 即 ．

故选： AD ．

ACD

【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断 A 选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断 B 选项；由抛物线的定义求出 即可判断 C 选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断 D 选项 .

【详解】对于 A ，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，

代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ， A 正确；

对于 B ，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，

设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，

则 ， B 错误；

对于 C ，由抛物线定义知： ， C 正确；

对于 D ， ，则 为钝角，

又 ，则 为钝角，

又 ，则 ， D 正确 .

故选： ACD.

CD

【分析】直接由体积公式计算 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 计算出 ，依次判断选项即可 .

【详解】

设 ，因为 平面 ， ，则 ，

，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，

又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，

又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则 ，

则 ， ，

，则 ， ， ，

则 ，则 ， ， ，故 A 、 B 错误； C 、 D 正确 .

故选： CD.

BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为 （ R ），由 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以 A 错误， B 正确；

由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以 C 正确；

因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此

，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以 D 错误．

故选： BC ．

/ ．

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．

【详解】因为 ，所以 ，因此 ．

故答案为： ．

【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，

所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；

圆 ，圆心 ，半径 ，

依题意圆心到直线 的距离 ，

即 ，解得 ，即 ；

故答案为：

【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；

【详解】 [ 方法一 ] ：弦中点问题：点差法

令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，

设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，

再根据 求出 、 ，即可得解；

解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，

设 ， ，则 ， ，

所以 ，即

所以 ，即 ，设直线 ， ， ，

令 得 ，令 得 ，即 ， ，

所以 ，

即 ，解得 或 （舍去），

又 ，即 ，解得 或 （舍去），

所以直线 ，即 ；

故答案为：

[ 方法二 ] ：直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段 MN 的中点，

设 ， ，设直线 ， ， ，

则 ， ， ，因为 ，所以

联立直线 AB 与椭圆方程得 消掉 y 得

其中 ，

∴AB 中点 E 的横坐标 , 又 ， ∴

∵ ， ， ∴ , 又 ，解得 m=2

所以直线 ，即

【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；

【详解】 [ 方法一 ] ：化为分段函数，分段求

分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；

解： 因为 ，

当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，

又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；

当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，

又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；故答案为： ；

[ 方法二 ] ：根据函数的对称性，数形结合

当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，

又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；

因为 是偶函数，图象为：

所以当 时的切线，只需找到 关于 y 轴的对称直线 即可 .

[ 方法三 ] ：

因为 ，

当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，

又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；

当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，

又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；

故答案为： ； .

(1) 证明见解析；

(2) ．

【分析】（ 1 ）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；

（ 2 ）根据题意化简可得 ，即可解出．

【详解】（ 1 ）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．

（ 2 ）由（ 1 ）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．

(1)

(2)

【分析】（ 1 ）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求得 ，再由面积公式求解即可；

（ 2 ）由正弦定理得 ，即可求解 .

【详解】（ 1 ）由题意得 ，则 ，

即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，

则 ， ，则 ；

（ 2 ）由正弦定理得： ，则 ，则 ， .

(1) 岁；

(2) ；

(3) ．

【分析】（ 1 ）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（ 2 ）设 { 一人患这种疾病的年龄在区间 } ，根据对立事件的概率公式 即可解出；

（ 3 ）根据条件概率公式即可求出．

【详解】（ 1 ）平均年龄

（岁）．

（ 2 ）设 { 一人患这种疾病的年龄在区间 } ，所以

．

（ 3 ）设 “ 任选一人年龄位于区间 [40,50)” ， “ 从该地区中任选一人患这种疾病 ” ，

则由已知得：

,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为 ．

(1) 证明见解析

(2)

【分析】（ 1 ）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据直角三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；

（ 2 ）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得 .

【详解】（ 1 ）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，

因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，

所以 、 ，

又 ，所以 ，即 ，所以 ，

又 ，即 ，所以 ， ，

所以

所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面

（ 2 ）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，

因为 ， ，所以 ，

又 ，所以 ，则 ， ，

所以 ，所以 ， ， ， ，

所以 ，

则 ， ， ，

设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ；

设平面 的法向量为 ，则 ，

令 ，则 ， ，所以 ；

所以 .

设二面角 的大小为 ，则 ，

所以 ，即二面角 的正弦值为 .

(1)

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用 的平方关系求得 的值，得到双曲线的方程；

（ 2 ）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线 AB 的斜率为 k , M ( x ₀ , y ₀ ), 由 ③| AM |=| BM | 等价分析得到 ；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线 PQ 的斜率 ，由 ② 等价转化为 ，由 ① 在直线 上等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可 .

【详解】（ 1 ）右焦点为 ， ∴ ,∵ 渐近线方程为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．

∴C 的方程为： ；

（ 2 ）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，

若选由 ①② 推 ③ 或选由 ②③ 推 ① ：由 ② 成立可知直线 的斜率存在且不为零；

若选 ①③ 推 ② ，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 , 此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；

总之，直线 的斜率存在且不为零 .

设直线 的斜率为 , 直线 方程为 ,

则条件 ① 在 上，等价于 ；

两渐近线的方程合并为 ,

联立消去 y 并化简整理得：

设 , 线段中点为 , 则 ,

设 ,

则条件 ③ 等价于 ,

移项并利用平方差公式整理得：

，

, 即 ,

即 ；

由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,

∴ 由 ,

∴ ,

所以直线 的斜率 ,

直线 , 即 ,

代入双曲线的方程 , 即 中，

得： ,

解得 的横坐标： ,

同理： ，

∴

∴ ,

∴ 条件 ② 等价于 ，

综上所述：

条件 ① 在 上，等价于 ；

条件 ② 等价于 ；

条件 ③ 等价于 ；

选 ①② 推 ③:

由 ①② 解得： ,∴③ 成立；

选 ①③ 推 ② ：

由 ①③ 解得： ， ，

∴ ， ∴② 成立；

选 ②③ 推 ① ：

由 ②③ 解得： ， ， ∴ ，

∴ ， ∴① 成立 .

(1) 的减区间为 ，增区间为 .

(2)

(3) 见解析

【分析】（ 1 ）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性 .

（ 2 ）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围 .

（ 3 ）由（ 2 ）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式 .

【详解】（ 1 ）当 时， ，则 ，

当 时， ，当 时， ，

故 的减区间为 ，增区间为 .

（ 2 ）设 ，则 ，

又 ，设 ，

则 ，

若 ，则 ，

因为 为连续不间断函数，

故存在 ，使得 ，总有 ，

故 在 为增函数，故 ，

故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾 .

若 ，则 ，

下证：对任意 ，总有 成立，

证明：设 ，故 ，

故 在 上为减函数，故 即 成立 .

由上述不等式有 ，

故 总成立，即 在 上为减函数，

所以 .

当 时，有 ，

所以 在 上为减函数，所以 .

综上， .

（ 3 ）取 ，则 ，总有 成立，

令 ，则 ，

故 即 对任意的 恒成立 .

所以对任意的 ，有 ，

整理得到： ，

故

，

故不等式成立 .

【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式 .