高中数学2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（上海卷.文）

学科首页试卷详情

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（上海卷.文）

高中

整体难度：偏难

2009-03-16

题号

一

二

三

四

五

评分

一、计算题 (共6题)

添加该题型下试题

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

难度：

知识点：圆锥曲线与方程

使用次数：115

复制

详情

加入组卷

【答案】

解：（1）解方程 y=x 得 x₁=－4, x₂=8

y=x²－4 y₁=－2, y₂=4

即A（－4,－2）,B（8,4）, 从而AB的中点为M（2,1）.

由k_AB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=（x－2）.

令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）

（2）直线OQ的方程为x+y=0, 设P（x, x²－4）.

∵点P到直线OQ的距离d==,

,∴S_ΔOPQ==.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8. ∵函数y=x²+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,

∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：P-ABC为正四面体；

（2）若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）

（3）设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,

使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

难度：

知识点：点直线平面之间的位置

使用次数：188

复制

详情

加入组卷

【答案】

证明：（1） ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,

∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC,

∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.

解：（2）取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角. 由（1）知,P-ABC的各棱长均为1,

∴PM=AM=,由D是PA的中点, 得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

（3）存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.

设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

∵正四面体P-ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）

故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求.

设P₁（x₁,y₁）, P₁（x₂,y₂）,…, P_n（x_n,y_n）（n≥3,n∈N）是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

（1）若C的方程为－y²=1,n=3. 点P₁（3,0）及S₃=162, 求点P₃的坐标；（只需写出一个）

（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）. 点P₁（0,0）, 对于给定的自然数n, 证明：（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²成等差数列；

（3）若C的方程为（a>b>0）. 点P₁（a,0）, 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值.

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	={x,y}	=（x,y）
正切	tg	tan

难度：

知识点：点直线平面之间的位置

使用次数：127

复制

详情

加入组卷

【答案】

解：（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由	－y²=1	,得	x=90
	x+y=99		y=9

∴点P₃的坐标可以为（3,3）.

（2）对每个自然数k,1≤k≤n,由题意²=（k－1）d,及

y=2px_k	,得x+2px_k=（k－1）d
x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首项为p²,公差为d的等差数列.

（3）解法一：原点O到二次曲线C:（a>b>0）上各点的最小距离为b,最大距离为a.

∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

∴≤d<0. ∵n≥3,>0

∴S_n=na²+d在[,0）上递增,

故S_n的最小值为na²+・=.

解法二：对每个自然数k（2≤k≤n）,

由	x+y=a²+（k－1）d	,解得y=
	+=1

∵0< y≤b²,得≤d<0 ∴≤d<0 以下与解法一相同.

已知复数z₁满足（1+i）z₁=－1+5i, z₂=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若<,求a的取值范围.

难度：

知识点：数系的扩充与复数的引入

使用次数：111

复制

详情

加入组卷

【答案】

解：由题意得 z₁==2+3i,

于是==,=.

<,得a²－8a+7<0,1<a<7.

某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm². 问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省?

难度：

知识点：函数的应用

使用次数：113

复制

详情

加入组卷

【答案】

解：由题意得xy+x²=8, ∴y==（0<x<4）.

于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4.

当（+）x=,即x=8－4时等号成立.

此时, x≈2.343,y=2≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

开通会员

本卷还有17题，登录并加入会员即可免费使用哦～

立即下载

全选试题

编辑试卷

收藏试卷

试题总数：

总体难度：

偏难

难度统计

难度系数

数量

占比

中等

100.0%

题型统计

大题类型

数量

占比

计算题

27.27%

填空题

54.54%

选择题

18.18%

知识点统计

知识点

数量

占比

圆锥曲线与方程

13.63%

点直线平面之间的位置

13.63%

函数的应用

36.36%

常用逻辑用语

4.54%

导数及其应用

4.54%

平面向量

4.54%

圆与方程

4.54%

概率

4.54%

数列

4.54%

三角函数

4.54%

数系的扩充与复数的引入

4.54%

版权提示

该作品由: 用户李超分享上传

可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系可圈可点，我们核实后将及时进行处理。