2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅲ.文）
高中
整体难度：中等
2009-03-16
题号
一
二
三
四
五
评分
一、计算题 (共5题)
添加该题型下试题
2.
某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
难度：
知识点：函数的应用
使用次数：136
【答案】
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
3.
设椭圆
的两个焦点是
与
，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若
，求直线PF2的方程.
难度：
知识点：圆锥曲线与方程
使用次数：105
【答案】
解：（1）由题设有
设点P的坐标为（
），由
，得
，
化简得 
①
将①与
联立，解得 
由
所以m的取值范围是
.
（2）准线L的方程为
设点Q的坐标为
，则
②
将
代入②，化简得
由题设
，得 
，无解.
将
代入②，化简得
由题设，得 
解得m=2.
从而
得到PF2的方程
4.
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝
，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：108
【答案】
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
.
∵CB=CA1=,
∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B.
∵A1C1=1,C1B1=,
∴A1B1=
，
又BB1＝1，∴A1B＝2.
∵△A1CB为直角三角形，
D为A1B的中点，
∴CD=
A1B=1,CD=CC1.
又DM=AC1=
,DM=C1M,
∴△CDM≌△CC1M,
∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则
FG∥CD，FG=CD.
∴FG=,FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，
知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形，
于是B1G⊥BD,B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角.
又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=
∴cosB1GF=
=
.
即所求二面角的大小为π－arccos
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅱ）B（
,0,0）,B1（,1,0）,A1（0,1,1）,D（,,）,M（,1,0）,
=（,,）, 
=（,－1,－1）,
=（0, ,－）,
则・=0, ・
=0,
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（
,
,）,
=（－,,）, 
=（－
,－
,）,
∴・=0.∴BD⊥B1G.
又CD⊥BD，
∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角.
cosθ=
=－.
所以所求二面角的大小等于π－arccos.
5.
已知数列
的前
项和
满足
.
（Ⅰ）写出数列的前三项
；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数
，有
.
难度：
知识点：数列
使用次数：315
【答案】
（Ⅰ）解：由
由
由
（Ⅱ）解：当
时，有
…… 
所以 
经验证a1也满足上式，所以 
（Ⅲ）证明：由通项公式得
当
且n为奇数时， 
当
为偶数时，
当为奇数时，
所以对任意整数m>4，有
二、选择题 (共7题)
添加该题型下试题
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试题总数：
14
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
基础
6
42.85%
容易
4
28.57%
中等
3
21.42%
很难
1
7.14%
题型统计
大题类型
数量
占比
计算题
5
35.71%
选择题
7
50.0%
填空题
2
14.28%
知识点统计
知识点
数量
占比
函数的应用
3
21.42%
圆锥曲线与方程
2
14.28%
三角函数
1
7.14%
数列
2
14.28%
基本初等函数I
2
14.28%
不等式
1
7.14%
计数原理
1
7.14%
空间几何体
1
7.14%
点 直线 平面之间的位置
1
7.14%
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