2016届高三数学一轮复习 大题冲关集训试卷及答案（六）理
高中
整体难度：偏难
2016-05-23
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共6题)
添加该题型下试题
1.
2013年6月“神舟”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、实验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为
、
、
、
,并且各个环节的直播收看互不影响.
(1)现有该班甲、乙、丙3名同学,求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;
(2)若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望.
难度：
知识点：概率
使用次数：187
【答案】
解:(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A,
则P(A)=
2×1-+
3=
.
(2)由条件可知X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)=1-×1-×1-×1-=
.
P(X=1)=×1-×1-×1-+1-××1-×1-+1-×1-××1-+1-×1-×1-×=
.
P(X=2)=××1-×1-+×1-××1-+×1-×1-×+1-×××1-+1-××1-×+1-×1-××=
.
P(X=3)=1-×××+×1-××+××1-×+×××1-=
.
P(X=4)=×××=
.
即X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
|
|
X的期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=
.
2.
气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:
| 日最高气温 t(单位:℃) | t≤22 | 22<t≤28 | 28<t≤32 | t>32 |
| 天数 | 6 | 12 | Y | Z |
由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.
某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:
| 日最高气温 t(单位:℃) | t≤22 | 22<t≤28 | 28<t≤32 | t>32 |
| 日销售额X (单位:千元) | 2 | 5 | 6 | 8 |
(1)求Y,Z的值;
(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;
(3)在日最高气温不高于32 ℃时,求日销售额不低于5千元的概率.
难度：
知识点：概率
使用次数：159
【答案】
解:(1)由已知得,P(t≤32)=0.9,
∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1,
∴Z=30×0.1=3,
Y=30-(6+12+3)=9.
(2)P(t≤22)=
=0.2,
P(22<t≤28)=
=0.4,
P(28<t≤32)=
=0.3,
P(t>32)=
=0.1,
∴六月份西瓜日销售额X的分布列为
| X | 2 | 5 | 6 | 8 |
| P | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,
D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3.
(3)∵P(t≤32)=0.9,
P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7,
∴由条件概率得:P(X≥5|t≤32)=P(22<t≤32|t≤32)=
=
=
.
3.
中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了技术改进,并增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、,指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分,某项指标不合格记为0分,各项指标检测结果互不影响.
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率;
(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
难度：
知识点：概率
使用次数：154
【答案】
解:(1)记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C,则事件“得分不低于8分”表示为ABC+A
C.
∵ABC与AC为互斥事件,且A、B、C为彼此独立.
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)
=××+××
=
.
(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=P(
)=
××=
.
P(X=1)=P(A +B+ C)=××+××+××=,
P(X=2)=P(AB+BC+AC)=××+××+××=
,
P(X=3)=P(ABC)=××=,
随机变量X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=
.
4.
下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数(AQI)和“PM 2.5”(直径小于等于2.5微米的颗粒物)24小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良.
| 日期 编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| 空气 质量 指数 (AQI) | 179 | 40 | 98 | 124 | 29 | 133 | 241 | 424 | 95 | 89 |
| “PM 2.5” 24小 时平 均浓度 (μg/m3) | 135 | 5 | 80 | 94 | 80 | 100 | 190 | 387 | 70 | 66 |
(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率;
(2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析,设事件M为“抽取的两个日期中,当天′PM 2.5′的24小时平均浓度不超过75 μg/m3”,求事件M发生的概率;
(3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取3天,记为“PM 2.5”24小时平均浓度不超过75 μg/m3的天数,求ξ的分布列和数学期望.
难度：
知识点：概率
使用次数：192
【答案】
解:(1)由题表数据知,10天中空气质量指数(AQI)小于100的日期有A2、A3、A5、A9、A10共5天,故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=
=.
(2)由(1)知10天中表示空气质量为优良的天数为5,当天“PM 2.5”的24小时平均浓度不超过75 μg/m3有编号为A2、A9、A10,共3天,故事件M发生的概率P(M)=
=
.
(3)由(1)知,ξ的可能取值为1,2,3.
且P(ξ=1)=
=,P(ξ=2)=
=
,
P(ξ=3)=
=
,
故ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
ξ的数学期望E(ξ)=1×+2×+3×=
.
5.
一个袋中装有形状大小完全相同的球9个,其中红球3个,白球6个,每次随机取1个,直到取出3次红球即停止.
(1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;
(2)从袋中有放回地取球.
①求恰好取5次停止的概率P2;
②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
难度：
知识点：概率
使用次数：180
【答案】
解:(1)P1=
=
.
(2)①P2=
×2×2×=
.
②随机变量ξ的取值为0,1,2,3,
由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=
pk(1-p)n-k,
得P(ξ=0)=
1-5=
;
P(ξ=1)=
××1-4=
;
P(ξ=2)=
×2×1-3=;
P(ξ=3)=1-
=
.
随机变量ξ的分布列是
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
ξ的数学期望是
E(ξ)=×0+×1+×2+×3=
.
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试题总数：
6
总体难度：
偏难
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
6
100.0%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
100.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
概率
5
83.33%
统计
1
16.66%
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