高中数学2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1，参考解析）

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2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1，参考解析）

高中

整体难度：中等

2017-06-09

题号

一

二

三

四

五

评分

一、解答题 (共6题)

添加该题型下试题

已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．

难度：

知识点：不等式

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【答案】

（1）当时，，是开口向下，对称轴的二次函数．
，

当时，令，解得

在上单调递增，在上单调递减
∴此时解集为．
当时，，．
当时，单调递减，单调递增，且．
综上所述，解集．
（2）依题意得：在恒成立．
即在恒成立．
则只须，解出：．
故取值范围是．

已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．

难度：

知识点：导数及其应用

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【答案】

（1）由于
故
当时，，．从而恒成立．
在上单调递减
当时，令，从而，得．



单调减	极小值	单调增

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增

（2）由（1）知，

当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．
当时，．
令．
令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时
若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．
若，则，故仅有一个实根，不满足条件．
若，则，注意到．．
故在上有一个实根，而又．
且．
故在上有一个实根．
又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．
又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．
综上，．

已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．

难度：

知识点：圆锥曲线与方程

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【答案】

（1）根据椭圆对称性，必过、
又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点
将代入椭圆方程得
，解得，
∴椭圆的方程为：．
（2）当斜率不存在时，设

得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
当斜率存在时，设

联立，整理得
，
则

又
，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为

当时，
所以过定点．

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：


经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
       用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布,则．
       ，．

难度：

知识点：统计

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【答案】

（1）由题可知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为．

由题可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率为，

由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理．
（ii）

，需对当天的生产过程检查．
因此剔除
剔除数据之后：．

如图，在四棱锥中，中，且．

（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．

难度：

知识点：空间中的向量与立体几何

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【答案】

（1）证明：∵
∴，
又∵，∴
又∵，、平面
∴平面，又平面
∴平面平面
（2）取中点，中点，连接，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
由（1）知，平面
∴平面，又、平面
∴，
又∵，∴
∴、、两两垂直
∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设，∴、、、，
∴、、
设为平面的法向量
由，得
令，则，，可得平面的一个法向量
∵，∴
又知平面，平面
∴，又
∴平面
即是平面的一个法向量，
∴
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为