（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减. 所以，即证明；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则

.

所以

①当时，取正整数，则当时，，因此.

此时，是等差数列.

②当时，对任意，

此时，是等差数列.

③当时，

当时，有.

所以

对任意正数，取正整数，

故当时，.

【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.

【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.

（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.

试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.

所以抛物线C的方程为.

抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.

（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.

由，得.

则，.

因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.

直线ON的方程为，点B的坐标为.

因为

，

所以.

故A为线段BM的中点.

【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系

【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整

体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.

（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】

试题解析：解：（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则，.于是.

平面的法向量为，所以.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.

【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.

(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.

（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【解析】

（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

故的期望.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义.

【名师点睛】求分布列的三种方法

1．由统计数据得到离散型随机变量的分布列；

2．由古典概型求出离散型随机变量的分布列；

3．由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．